《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 1 = 0 $ 的一个根是 $ \sqrt{2}-1 $,求其另一个根及 $ m $ 的值。

答案： 设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 + mx - 1 = 0$，根据根与系数的关系：
两根之和：$(\sqrt{2} - 1) + x_1 = -m$
两根之积：$(\sqrt{2} - 1)x_1 = -1$
由两根之积可得：
$x_1 = \frac{-1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{-(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{-(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = -\sqrt{2} - 1$
将$x_1 = -\sqrt{2} - 1$代入两根之和：
$(\sqrt{2} - 1) + (-\sqrt{2} - 1) = -m$
$\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = -m$
$-2 = -m$
$m = 2$
另一个根为$-\sqrt{2} - 1$，$m$的值为$2$。

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}+mx + n = 0 $ 的两个根分别为 $ -2 $ 和 $ 1 $,则 $ n^{m} $ 的值为(C)
A.$ -8 $
B.8
C.16
D.$ -16 $

答案： C

2. 若 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0 $ 的两个实数根,且 $ x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2} $,则 $ m $ 的值为(D)
A.$ -1 $ 或 $ 2 $
B.$ 1 $ 或 $ -2 $
C.$ -2 $
D.$ 1 $

答案： D

3. 若 $ \alpha,\beta $ 为方程 $ 2x^{2}-5x - 1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ 2\alpha^{2}+3\alpha\beta+5\beta $ 的值为(B)
A.$ -13 $
B.12
C.14
D.15

答案： B

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(a + b)x + ab - 1 = 0 $,$ x_{1},x_{2} $ 是此方程的两个实数根,现给出三个结论：① $ x_{1}\neq x_{2} $；② $ x_{1}x_{2}\lt ab $；③ $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\lt a^{2}+b^{2} $。则正确结论的序号是①②。

答案： ①②（即答案填对应序号，本题为①②）

5. 在解关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 时,小明看错了一次项系数 $ b $,得到的解为 $ x_{1}= -2,x_{2}= -3 $；小刚看错了常数项 $ c $,得到的解为 $ x_{1}= 1,x_{2}= 4 $。则正确的一元二次方程为$ x^{2} -5x + 6 = 0 $。

答案： $ x^{2} -5x + 6 = 0 $（或写为规范形式填入）

6. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 为方程 $ x^{2}+3x + 1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_{1}^{3}+8x_{2}+20= $-1。

答案： -1

7. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围；
(2)若 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 16 + x_{1}x_{2} $,求实数 $ k $ 的值。

答案：
(1)
方程 $x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有两个实数根，则判别式 $\Delta\geq0$。
$\Delta=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)$
$=4k^{2}-4k + 1-4k^{2}+4$
$=-4k + 5\geq0$
解得 $k\leq\frac{5}{4}$。
(2)
由韦达定理得 $x_{1}+x_{2}=-(2k - 1)=1 - 2k$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$。
因为 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16 + x_{1}x_{2}$，又 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
所以 $(1 - 2k)^{2}-2(k^{2}-1)=16+(k^{2}-1)$。
$1 - 4k+4k^{2}-2k^{2}+2 = 16+k^{2}-1$。
$k^{2}-4k - 12 = 0$。
$(k - 6)(k + 2)=0$。
解得 $k_{1}=6$，$k_{2}=-2$。
又因为 $k\leq\frac{5}{4}$，所以 $k = - 2$。
综上，
(1) $k\leq\frac{5}{4}$；
(2) $k=-2$。

★8. 若实数 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}^{2}-3x_{1}+1 = 0,x_{2}^{2}-3x_{2}+1 = 0 $,求 $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} $ 的值。

答案： 7