《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

5. 在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,4) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (-2,6) $,如果存在点 $ D $,使得 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ABC $ 全等,那么点 $ D $ 的坐标为(4,6),(-2,-2),(4,-2).

答案： (4,6),(-2,-2),(4,-2)

6. 如图,已知点 $ A(4,3) $,若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上且 $ \triangle POA $ 为等腰三角形,求点 $ P $ 的坐标.

答案：
解:如答图,过点A作$AE\perp x$轴于点E,则OE = 4,AE = 3,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$.
当O为顶角顶点时,以点O为圆心,OA的长为半径作弧交x轴于点$P_1,P_2$,则$OP_1 = OP_2 = OA = 5$,
∴$P_1(-5,0),P_2(5,0)$.
当A为顶角顶点时,以点A为圆心,AO的长为半径作弧交x轴于点$P_3$,则$AP_3 = AO$,
∴$P_3E = OE = 4$,
∴$OP_3 = 8$,
∴$P_3(8,0)$.
当P为顶角顶点时,作OA的垂直平分线交x轴于点$P_4$,设$AP_4 = OP_4 = x$,则$P_4E = 4 - x$.
在$Rt\triangle AP_4E$中,由勾股定理,得$(4 - x)^2 + 3^2 = x^2$,
解得$x=\frac{25}{8}$,
∴$OP_4=\frac{25}{8}$,
∴$P_4\left(\frac{25}{8},0\right)$.
综上所述,点P的坐标为(-5,0)或$\left(\frac{25}{8},0\right)$或(5,0)或(8,0).

7. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,点 $ A(0,3) $,点 $ B(4,0) $,$ CD \perp x $ 轴,垂足为 $ D $.
(1)求证:$ \triangle AOB \cong \triangle BDC $;
(2)求点 $ C $ 的坐标;
(3)若点 $ E(-3,0) $,连接 $ EA $,在平面直角坐标系中存在一点 $ P $,使得 $ \triangle PAE $ 是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)证明:
∵$\triangle ABC$是等腰直角三角形,且$CD\perp x$轴,
∴$\angle ABO + \angle BAO = 90^\circ,\angle CBD + \angle BCD = 90^\circ,\angle ABO + \angle CBD = 90^\circ,AB = BC$,
∴$\angle ABO = \angle BCD,\angle BAO = \angle CBD$.
在$\triangle AOB$和$\triangle BDC$中,$\begin{cases}\angle ABO = \angle BCD\\AB = BC\\\angle BAO = \angle CBD\end{cases}$,
∴$\triangle AOB\cong\triangle BDC(ASA)$.
(2)解:
∵$\triangle AOB\cong\triangle BDC$,
∴CD = OB = 4,BD = OA = 3,
∴OD = OB + BD = 4 + 3 = 7,
∴点C的坐标为(7,4).
(3)解:点P的坐标为(0,0)或(-3,3)或(0,-3)或(-6,3)或(-3,6)或(3,0).

8. (鼓楼区期末)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $,$ B $ 的坐标分别为 $ (-1,0) $,$ (3,0) $.现同时将点 $ A $,$ B $ 分别向上平移 $ 2 $ 个单位长度,再向右平移 $ 1 $ 个单位长度,分别得到点 $ A $,$ B $ 的对应点 $ C $,$ D $,连接 $ AC $,$ BD $,$ CD $.
(1)直接写出点 $ C $,$ D $ 的坐标;
(2)在 $ x $ 轴上是否存在点 $ M $,使 $ S_{\triangle MDC} = S_{\triangle MBD} $?若存在,请求出点 $ M $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)点C的坐标为(0,2),点D的坐标为(4,2).
(2)设点M的坐标为(m,0).
∵B(3,0),
∴BM = |m - 3|.
由
(1)知,C(0,2),D(4,2),
∴CD = 4.
由平移知,AB与CD间的距离相等,均为OC.
∵$S_{\triangle MDC}=S_{\triangle MBD}$,
∴$\frac{1}{2}CD\cdot OC=\frac{1}{2}BM\cdot OC$,
∴BM = CD = 4,即|m - 3| = 4,解得m = 7或m = -1.
∴点M的坐标为(-1,0)或(7,0).