《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

1.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,过点$A作AD\perp BC于点D$,过点$B作BE\perp AC于点E$,$AD与BE交于点F$,连接$CF$.
(1)求证：$\angle ABF= \angle ACF$；
(2)若$\angle BAC= 48^{\circ}$,求$\angle CFE$的度数.

答案： 1.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,即∠ABF=∠ACF.
(2)解:
∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=66°.
∵BE⊥AC,
∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°.由
(1)得∠CBF=∠BCF,
∴∠BCF=∠CBF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°.

2.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$CE\perp AB$,垂足为$E$,$AE= CE$.
求证：(1)$\triangle AEF≌\triangle CEB$；
(2)$AF= 2CD$.

答案： 2.证明:
(1)
∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB.在△AEF和△CEB中,∠AEF=∠CEB,AE=CE,∠EAF=∠ECB,
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=CB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=BD,
∴BC=2CD,
∴AF=2CD.

3.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$BP$,$CQ是\triangle ABC$两腰上的高,$BP与CQ交于点O$.
求证：$\triangle BCO$是等腰三角形.

答案： 3.证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BP,CQ是△ABC两腰上的高,
∴∠BQC=∠CPB=90°.
∵∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∴△BCO是等腰三角形.