《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,在四边形 ABCD 中,$∠BCD = 90^{\circ}$,BD 平分$∠ABC$,$AB = 6$,$BC = 9$,$CD = 4$,则四边形 ABCD 的面积是(B)
A.24
B.30
C.36
D.42

答案： B

9. 如图,在$△ABC$中,D 是 BC 的中点,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别是 E,F.
(1)若$BE = CF$,求证：AD 是$△ABC$的角平分线；
(2)若 AD 是$△ABC$的角平分线,求证：$BE = CF$.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线；
(2)若AD是△ABC的角平分线,求证：BE=CF.证明:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ DE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴BE=CF.

10. 如图,在$△ABC$中,D 为 BC 的中点,$DE⊥BC交∠BAC$的平分线于点 E,$EF⊥AB$于点 F,$EG⊥AC$交 AC 的延长线于点 G. BF 与 CG 的大小如何？证明你的结论.

答案：
BF=CG.证明如下:如答图，连接EB,EC.
∵AE是∠BAC的平分线,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵ED⊥BC于点D,D是BC的中点,
∴EB=EC.
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.　　　　　　　　

11. 如图,$△ABC的外角∠CAD的平分线与外角∠ACE$的平分线交于点 O,连接 BO,$OG⊥BE$于点 G.
(1)求证：$∠BOG = ∠AOC$；
(2)若$AB = 5$,$BC = 6$,$AC = 4$,求 BG,CG 的长.

答案：

(1)证明:如答图，作OM⊥BD于点M,ON⊥AC于点N.
∵AO平分∠CAD,
∴OM=ON.同理,ON=OG,
∴OM=OG.
∵OG⊥BE,
∴BO平分∠ABC,
∴∠OBG=$\frac {1}{2}$∠ABC.
∵∠BOG+∠OBG=90°,
∴∠BOG=90°-∠OBG=90°-$\frac {1}{2}$∠ABC.
∵∠BOC=∠OCE-∠OBE=$\frac {1}{2}$∠ACE-$\frac {1}{2}$∠ABC=$\frac {1}{2}$(∠ACE-∠ABC)=$\frac {1}{2}$∠BAC,同理∠AOB=$\frac {1}{2}$∠ACB,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=$\frac {1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=$\frac {1}{2}$(180°-∠ABC)=90°-$\frac {1}{2}$∠ABC
∴∠BOG=∠AOC.
(2)解:在△BMO和△BGO中,$\left\{\begin{array}{l} \angle MBO=\angle GBO,\\ \angle BMO=\angle BGO,\\ BO=BO,\end{array}\right.$
∴△BMO≌△BGO(AAS),
∴BM=BG.同理AM=AN,CN=CG.设CN=CG=x.
∵AB=5,BC=6,AC=4,
∴BM=BG=6+x,AM=AN=4-x.
∵AB+AM=BM,
∴5+4-x=6+x,解得x=1.5,
∴BG=6+x=7.5,CG=x=1.5.