《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

9.(10分)(2024春·启东月考)已知$△ABC$的三边长是a,b,c.
(1)若$a= 6,b= 8$,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;
(2)化简:$|a+b-c|+|c-a-b|$.

答案： 解:
(1)
∵a,b,c是△ABC的三边长,a=6,b=8,
∴2＜c＜14.
∵三角形的周长是小于22的偶数,
∴2＜c＜8,
∴c=4或6.
(2)原式=a+b−c−c+a+b=2a+2b−2c.

10.(12分)(2024春·睢宁县月考)如图,已知AD,AE分别是$△ABC$的高和中线,$AB= 3cm$,$AC= 4cm,BC= 5cm,∠BAC= 90^{\circ }$.
(1)求$△ABE$的面积;
(2)求AD的长.

答案： 解:
(1)在△ABC中,∠BAC=90°,
∴S△ABC= $\frac{1}{2}$AB·AC= $\frac{1}{2}$×3×4=6(cm²),
∵AE是△ABC的中线,
∴S△ABE= $\frac{1}{2}$S△ABC=3(cm²).
(2)
∵AD是△ABC的高,
∴S△ABC= $\frac{1}{2}$BC·AD.
∵S△ABC=6 cm²,BC=5 cm,
∴AD=2.4 cm.

11.(12分)(2024春·昆山期末)如图,在$△ABC$中,D为AC的中点,F为AB边上一点,连接FD,并延长FD至点E,使得$ED= DF$,连接CE.
(1)求证:$△CDE≌△ADF$;
(2)若$EF// BC,∠A= 60^{\circ },∠E= 50^{\circ }$,求$∠BCD$的度数.

答案：
(1)证明:
∵D为AC的中点,
∴CD=AD.
在△CDE和△ADF中,$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠CDE=∠ADF, \\ ED=FD, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADF(SAS).
(2)解:
∵△CDE≌△ADF,
∴∠DCE=∠A.
∵EF//BC,∠E=50°,
∴∠BCE=180°−∠E=180°−50°=130°.
∵∠DCE=∠A=60°,
∴∠BCD=∠BCE−∠DCE=130°−60°=70°.

12.(18分)如图,BD,CE是$△ABC$的高,点P在BD的延长线上,$CA= BP$,点Q在CE上,$QC= AB$.
(1)$∠1$______$∠2$;(填“＞”“＜”或“=”)
(2)探究PA与AQ之间的数量及位置关系;
(3)若把(1)中的$△ABC$改为钝角三角形,$AC＞AB,∠A$是钝角,其他条件不变,试探究PA与AQ之间的关系,请画出图形并写出结论.

答案：

(1)=
(2)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAB=90°,∠2+∠CAB=90°,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB, \\ ∠1=∠2, \\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠DAP+∠P=90°,
∴∠DAP+∠QAC=90°,
∴∠QAP=90°,即AQ⊥AP.
(3)解:AP=AQ,AP⊥AQ.理由如下:
如答图所示.

∵BD,CE是△ABC的高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAE=90°,∠2+∠DAB=90°.
∵∠CAE=∠DAB,
∴∠1=∠2.
在△QAC和△APB中,$\begin{cases} QC=AB, \\ ∠1=∠2, \\ CA=BP, \end{cases}$
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AQ=AP,∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°,
∴∠P+∠PAD=90°,
∴∠QAC+∠PAD=90°,
∴∠QAP=90°,
∴AQ⊥AP,即AP=AQ,AP⊥AQ.