《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

10. 若实数 $ x,y,z $ 满足条件 $ \sqrt{x}+\sqrt{y - 1}+\sqrt{z - 2}= \frac{1}{4}(x + y + z + 9) $,求 $ xyz $ 的值.

答案： 解:根据题意,得$x-4\sqrt{x}+y-4\sqrt{y-1}+z-4\sqrt{z-2}+9=0$,
∴$(x-4\sqrt{x}+4)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-4\sqrt{z-2}+4)=0$,即$(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{y-1}-2)^{2}+(\sqrt{z-2}-2)^{2}=0$,
∴$\sqrt{x}-2=0$且$\sqrt{y-1}-2=0$且$\sqrt{z-2}-2=0$,
∴$\sqrt{x}=2$,$\sqrt{y-1}=2$,$\sqrt{z-2}=2$,
∴x=4,y-1=4,z-2=4,解得x=4,y=5,z=6.
∴xyz=120.

11. 已知 $ \frac{\sqrt{3a - b}+|a^{2}-49|}{\sqrt{a + 7}}= 0 $,求实数 $ a,b $ 的值,并求出 $ \sqrt{b} $ 的整数部分和小数部分.

答案： 解:根据题意,得3a-b=0,$a^{2}-49=0$且a+7＞0,解得a=7,b=21.
∵16＜21＜25,
∴$4＜\sqrt{21}＜5$,
∴$\sqrt{21}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{21}-4$.

12. 对一切实数 $ k $,有 $ \sqrt{8 - x}+\sqrt{x - 3}\geq k $ 总成立,求 $ k $ 的最大值.

答案： 解:要使根式有意义,则3≤x≤8.设$y=\sqrt{8-x}+\sqrt{x-3}$,则$y^{2}=8-x+x-3+2\sqrt{(8-x)(x-3)}=5+2\sqrt{-(x-\frac{11}{2})^{2}+\frac{25}{4}}$,
∴当$x=\frac{11}{2}$时,$y^{2}$有最大值,最大值为$5+2×\frac{5}{2}=10$,
∴y的最大值为$\sqrt{10}$,即$\sqrt{10}\geq k$,
∴k的最大值为$\sqrt{10}$.