《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

4.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= BD$,$\angle ADE= \angle B$,求证：$\triangle ADE$是等腰三角形.

答案： 4.证明:
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADE=∠B,∠ADE+∠BAD+∠AED=180°,∠B+∠BDA+∠BAD=180°,
∴∠AED=∠BAD,
∴ED=AD,
∴△ADE是等腰三角形.

5.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= BC$,$AB的垂直平分线DE分别交AB$,$BC于点D$,$E$.
(1)若$\angle C= 72^{\circ}$,求$\angle B$,$\angle 1$的度数；
(2)若$BD= 6$,$AC= 7$,求$\triangle AEC$的周长.

答案： 5.解:
(1)
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,
∴BE=AE,∠ADE=∠BDE=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=72°,
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°,
∴∠EAB=∠B=36°,
∴∠1=90°-∠EAB=54°.
(2)
∵BD=6,
∴AB=2BD=2×6=12,
∴BC=12.
∵AE=BE,
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19,即△AEC的周长为19.

6.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 40^{\circ}$,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$BD= BC= CE$,连接$CD$,$BE$.
(1)若$\angle ABC= 80^{\circ}$,求$\angle BDC$,$\angle ABE$的度数；
(2)写出$\angle BEC与\angle BDC$之间的关系,并说明理由.

答案： 6.解:
(1)
∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=1/2×(180°-80°)=50°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由如下:设∠BEC=α,∠BDC=β,则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.