《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. (江阴月考)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,AE是BC边上的中线,过点C作$CF⊥AE$,垂足为F,过点B作$BD⊥BC$交CF的延长线于点D.
(1)求证:$AE= CD$;
(2)若$AC= 12cm$,求BD的长.

答案：
(1)证明:
∵DB⊥BC,CF⊥AE,
∴∠DCB+∠D=90°,∠DCB+∠AEC=90°,
∴∠D=∠AEC.在△DBC和△ECA中,∠D=∠AEC,∠DBC=∠ECA,BC=CA,
∴△DBC≌△ECA(AAS),
∴AE=CD.
(2)解:
∵△CDB≌△AEC,
∴BD=CE.
∵AE是BC边上的中线,
∴BD=EC=1/2BC=1/2AC.
∵AC=12 cm,
∴BD=6 cm.

8. (海陵区期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点E在AC的延长线上,$ED⊥AB$于点D,BC与DE交于点O,$BC= ED$.
求证:(1)$∠B= ∠E$;
(2)$OE= OB$.

答案： 证明:
(1)
∵ED⊥AB,
∴∠E+∠A=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠E.
(2)
∵∠A=∠A,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(AAS),
∴AB=AE,AC=AD.
∴AE-AC=AB-AD,即CE=BD.
∵∠E=∠B,∠EOC=∠BOD,
∴△EOC≌△BOD(AAS),
∴OE=OB.

9. CD是经过$∠BCA$顶点C的一条直线,$CA= CB$. E,F分别是直线CD上两点,且$∠BEC= ∠CFA= ∠α$.
(1)若直线CD在$∠BCA$的内部,且点E,F在射线CD上,请解答下面两个问题:
①如图①,若$∠BCA= 90^{\circ },∠α=90^{\circ }$,则BE=CF,EF=$|BE-AF|$;(均填“＞”“＜”或“=”)
②如图②,若$0^{\circ }＜∠BCA＜180^{\circ }$,请添加一个关于$∠α与∠BCA$关系的条件,使①中的两个结论仍然成立,并进行证明;
解:所添加的条件是∠α+∠BCA=180°.证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α.∵∠BCA=180°-∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中,∠BEC=∠CFA,∠CBE=∠ACF,BC=CA,∴△BCE≌△CAF(AAS),∴BE=CF,CE=AF.又∵EF=CF-CE,∴EF=|BE-AF|.
(2)如图③,若直线CD在$∠BCA$的外部,$∠α=∠BCA$,请给出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想.(不要求证明)
解:猜想EF=BE+AF.

答案：
(1)①= =②解:所添加的条件是∠α+∠BCA=180°.证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α.
∵∠BCA=180°-∠α,
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又
∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中,∠BEC=∠CFA,∠CBE=∠ACF,BC=CA,
∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF.又
∵EF=CF-CE,
∴EF=|BE-AF|.
(2)解:猜想EF=BE+AF.