《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

2. 反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里,反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况,然后推出矛盾,从而证明原结论的正确性. 今天,就让我们借助反证法,深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念,像整数和分数统称为有理数,而无限不循环小数是无理数. 我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数,例如,证明$\sqrt {2}$是无理数时,先假设$\sqrt {2}$是有理数,写成$\frac {m}{n}$(m,n 是正整数,且没有大于 1 的公约数)的形式,然后通过一系列推理得出矛盾,进而证明$\sqrt {2}$是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明$\sqrt {2}$是无理数的过程,总结反证法的证明步骤.
(2)实践操作:你能仿照证明$\sqrt {2}$是无理数的方法,用反证法证明$\sqrt {2}-1$也是无理数吗? 请写出详细的证明过程.
(3)拓展思考:除了$\sqrt {2}和\sqrt {2}-1$,你还能想到哪些数可以用反证法来探究其是有理数还是无理数? 选择一个数,和小组同学一起讨论并尝试证明.

答案：
(1)反证法的证明步骤如下:
第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立;
第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理;
第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果;
第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2)证明$\sqrt{2}-1$是无理数如下:
假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p,q是正整数,且没有大于1的公约数),则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.
因为p,q是正整数,所以$\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.
因此,$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3)答案不唯一,如探究$\sqrt{3}$.
假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数,所以$\sqrt{3}$可以写成$\frac{a}{b}$(a,b是正整数,且没有大于1的公约数).
根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^{2}=3$,即$\frac{a^{2}}{b^{2}}=3$,所以3b²=a².
由于3b²是3的倍数,所以a²是3的倍数,从而可知a是3的倍数,设a=3c(c是正整数).把a=3c代入3b²=a²,得3b²=9c²,即b²=3c²,因此b也是3的倍数.
于是a,b都是3的倍数,这与a,b没有大于1的公约数相矛盾.所以$\sqrt{3}$不是有理数,它是无理数.