《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,分别以点 B 和点 C 为圆心,大于$\frac {1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点 D,作直线 AD 交 BC 于点 E. 若$∠BAC= 110^{\circ }$,则$∠BAE$的大小为55°.

答案： 55°

9. (2024 秋·浦口区月考)在$\triangle ABC$中,$∠A= 80^{\circ }$,当$∠B= $80°或50°或20°时,$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 80°或50°或20°

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ },BD平分∠ABC$交 AC 于点 D,点 E 是 AB 的中点,连接 DE.
(1)求证:$\triangle ABD$是等腰三角形;
(2)求$∠BDE$的度数.

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:
∵E是AB的中点,DA=DB,
∴DE⊥AB.
∵∠ABD=36°,
∴∠BDE=90°-36°=54°.

11. (2024 秋·南京月考)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D 是边 AB 上一点,$∠BCD= ∠A.$
(1)如图①,求证:$CD= CB.$
(2)如图②,过点 B 作$BE⊥AC$,垂足为 E,BE 与 CD 相交于点 F.
①求证:$∠BCD= 2∠CBE;$
②如果$\triangle BDF$是等腰三角形,求$∠A$的度数.

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB.
(2)①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α,
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE.
②解:
∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴90°-α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴90°-2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBF=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴不存在FB=FD.
综上所述,∠A的度数为45°或36°.