《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 如图, 在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$, 垂足为 $D$. 如果$AD = 6,BD = 9,CD = 4$, 那么$\angle BAC$是直角吗? 证明你的结论.

答案： 解:∠BAC 是直角.证明如下:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$.
∵AD=6,BD=9,CD=4,
∴$AB^{2}=117$,$AC^{2}=52$.
∵BC=BD+CD=13,
∴$BC^{2}=169$,
∴$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,
∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.

10. (常州期中) 如图, 在四边形 $ABCD$ 中,$AB = 20,BC = 15,CD = 7,AD = 24,\angle B = 90^{\circ}$.
(1) 求证:$CD\perp AD$;
(2) 求四边形 $ABCD$ 的面积.

答案：
(1)证明:连接 AC.
∵∠B=90°,
∴$AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}=400+225=625$.
∵$DA^{2}+CD^{2}=24^{2}+7^{2}=625$,
∴$AC^{2}=DA^{2}+CD^{2}$,
∴△ADC 是直角三角形,即∠D 是直角,
∴CD⊥AD.
(2)解:$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234$.

11. (苏州期末) 如图,$AD$ 是$\triangle ABC$ 的中线,$DE\perp AC$ 于点 $E$,$DF$ 是$\triangle ABD$ 的中线, 且$CE = 2$, $DE = 4,AE = 8$.
(1) 求证:$\angle ADC = 90^{\circ}$;
(2) 求 $DF$ 的长.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AC 于点 E,
∴∠AED=∠CED=90°.
在 Rt△ADE 中,∠AED=90°,
∴$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}=8^{2}+4^{2}=80$,
同理可得$CD^{2}=20$,
∴$AD^{2}+CD^{2}=100$.
∵AC=AE+CE=8+2=10,
∴$AC^{2}=100$,
∴$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,
∴△ADC 是直角三角形,且∠ADC=90°.
(2)解:
∵AD 是△ABC 的中线,∠ADC=90°,
∴AD 垂直平分 BC,
∴AB=AC=10.
在 Rt△ADB 中,∠ADB=90°,
∵F 是边 AB 的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5$.

12. (仪征期中) 如图, 在$\triangle ABC$ 中,$AB = 5,AC = 13,AD$ 是边 $BC$ 上的中线, 点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上,$AD = ED = 6$, 连接 $CE$.
(1) 求证:$\triangle ABD\cong\triangle ECD$;
(2) 求$\triangle ABD$ 的面积.

答案：
(1)证明:
∵AD 是边 BC 上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD 和△ECD 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS).
(2)解:
∵△ABD≌△ECD,
∴AB=CE=5,$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACE}$.
∵AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5,
∴$AE^{2}+CE^{2}=AC^{2}$,
∴△ACE 是直角三角形,且∠AEC=90°,
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}×5×12=30$.
∵AD 是边 BC 上的中线,
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=15$,
即△ABD 的面积为 15.