《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

9.(10分)如图,$AB= AC,CD⊥AB,BE⊥AC$,垂足分别为D,E.求证:$△ABE\cong △ACD$.

答案： 证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.在△ABE和△ACD中,∠AEB=∠ADC,∠BAE=∠CAD,AB=AC,
∴△ABE≌△ACD(AAS).

10.(12分)(江宁区期末)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,$DF// CE,DF= CE,AD= BC$.
求证:(1)$CF= DE$;
(2)$AF// EB$.

答案：
(1)证明:
∵DF//CE,
∴∠FDC=∠ECD.在△FDC和△ECD中,DF=CE,∠FDC=∠ECD,DC=CD,
∴△FDC≌△ECD(SAS),
∴CF=DE.
(2)证明:
∵△FDC≌△ECD,
∴∠FCD=∠EDC.
∵AD=BC,
∴AD+DC=BC+DC,即AC=BD.在△FAC和△EBD中,FC=ED,∠FCA=∠EDB,AC=BD,
∴△FAC≌△EBD(SAS),
∴∠A=∠B,
∴AF//EB.

11.(14分)如图,已知AD,BF相交于点O,$OA= OD,AB// DF$,点E,C在BF上,$BE= CF$.
(1)求证:$△ABO\cong △DFO$;
(2)判断线段AC与DE的位置及数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵AB//DF,
∴∠B=∠F,∠BAO=∠FDO.在△ABO和△DFO中,∠B=∠F,∠BAO=∠FDO,OA=OD,
∴△ABO≌△DFO(AAS).
(2)解:AC=DE,AC//DE.理由如下:
∵△ABO≌△DFO,
∴BO=FO.
∵BE=CF,
∴BO-BE=FO-FC,即EO=CO.在△AOC和△DOE中,AO=DO,∠AOC=∠DOE,CO=EO,
∴△AOC≌△DOE(SAS),
∴AC=DE,∠OAC=∠ODE,
∴AC//DE.

12.(16分)如图,在$△ABC$中,$BD= CD,CD⊥AB$于点D,BE平分$∠ABC$,且$BE⊥AC$于点E,与CD相交于点F.
求证:(1)$BF= AC$;
(2)$CE= \frac {1}{2}BF$.

答案：
(1)证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°,
∴∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC.
∵∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.在△DFB和△DAC中,∠BDF=∠CDA,BD=CD,∠DBF=∠DCA,
∴△DFB≌△DAC(ASA),
∴BF=AC.
(2)证明:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.在△BEA和△BEC中,∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠ABE=∠CBE,
∴△BEA≌△BEC(ASA),
∴CE=AE=1/2AC.又
∵BF=AC,
∴CE=1/2BF.