《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

10. (2024春·韶关期末)在平面直角坐标系中,点$A(-3,4)$,点$B是x$轴上任意一点,则线段$AB$的最小值是4.

答案： 4

11. 如图,等边三角形$ABC的边AB垂直于x$轴,点$C在x$轴上. 已知点$A(2,2)$,求点$C$的坐标.

答案： 解:
∵△ABC是等边三角形,AB⊥x轴于点D,
∴∠ACD=30°.
∵点A(2,2),
∴AD=OD=2,
∴CD=2√3,
∴OC=2√3-2,
∴点C的坐标为(2-2√3,0).

12. 如图,已知$P(4m+7,2m+5)$在第一象限的角平分线上,点$A,B分别在x轴正半轴和y$轴正半轴上,$\angle BPA= 90^{\circ}$.
(1)求点$P$的坐标；
(2)若点$B为(0,1)$,求点$A$的坐标.

答案： 解:
(1)
∵P(4m+7,2m+5)在第一象限的角平分线上，
∴4m+7=2m+5,解得m=-1,
∴P(3,3).
(2)如答图,过点P分别作PD⊥x轴于点D,作PC⊥y轴于点C,
∴∠PCO=∠PDO=∠COD=90°,
∴∠CPD=90°,
∴∠CPB+∠BPD=90°.
∵∠BPA=90°,
∴∠BPD+∠APD=90°,
∴∠APD=∠CPB,又CP=PD,
∴△CPB≌△DPA(ASA),
∴BC=DA.
∵B(0,1),P(3,3),
∴OB=1,OC=3,
∴BC=2=DA,
∴OA=2+3=5,
∴A(5,0).

13. 在平面直角坐标系中,从点$(x,y)分别向x$轴、$y$轴作垂线,两条垂线分别与坐标轴交于点$X_1,Y_1$,与第一、三象限的角平分线交于点$X_2,Y_2$,则记点$(x,y)的长度差为d_{(x,y)}= \vert X_1X_2-Y_1Y_2\vert$. 例如,$d_{(1,2)}= \vert1-2\vert=1$.
(1)求$d_{(2,3)},d_{(-2,1)}$的值；
(2)若点$(3,m)的长度差d_{(3,m)}= 4$,求$m$的值.

答案： 解:
(1)如答图.
∵直线OX₂是第一、三象限的角平分线,
∴∠X₂OX₁=45°.
∵过点(x,y)向x轴作垂线,
∴∠X₂X₁O=90°,
∴∠OX₂X₁=90°-45°=45°,
∴∠X₂OX₁=∠OX₂X₁,
∴X₁O=X₂X₁,同理Y₁Y₂=OY₁.
∴d(2,3)=|2-3|=1,d(-2,1)=| - 2 - 1|=3.
(2)根据题意及
(1),得|3-|m||=4,
∴3-|m|=-4或3-|m|=4,解得|m|=7或|m|=-1(舍去),
∴m的值为±7.