《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

1. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,D为斜边BC上一点,且$BD= BA$,过点D作BC的垂线交AC于点E. 求证：点E在$∠ABC$的平分线上.

答案：
证明:连接BE,如答图.
　　　　　　　
∵ED⊥BC,
∴∠BDE=∠A=90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中,{BE=BE,BA=BD,
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),
∴∠ABE=∠DBE,
∴点E在∠ABC的平分线上.

2. 如图,$AB= AE,∠B= ∠E,BC= ED$,AF平分$∠BAE$. 求证：$AF⊥CD$.

答案：
证明:如答图,连接AC,AD.
在△ABC和△AED中,{AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,∠BAC=∠EAD.
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠EAF,
∴∠BAF - ∠BAC=∠EAF - ∠EAD,
∴∠FAC=∠FAD.
在△ACF和△ADF中,{AC=AD,∠FAC=∠FAD,AF=AF,
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=90°,即AF⊥CD.
　　　　　　　　

3. 如图,在$△ABC$中,AD为BC边上的中线. 求证：$AB+AC＞2AD$.

答案：
证明:如答图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.
∵AD为BC边的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,{AD=ED,∠ADB=∠EDC,BD=CD,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴AB=EC.
在△ACE中,
∵AC+EC＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD.
　　　　　　　　

4. 如图,$AB= AE,AB⊥AE,AD= AC,AD⊥AC$,M为BC的中点. 求证：$DE= 2AM$.

答案：
证明:如答图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.
∵M为BC的中点,
∴CM=BM.
在△AMC和△NMB中,{AM=NM,∠AMC=∠NMB,CM=BM,
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴AC=NB,∠C=∠NBM.
∵AD=AC,
∴AD=NB.
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB=∠DAC=90°,
∴∠EAD+∠BAC=180°,
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180° - ∠BAC=∠EAD.
在△EAD和△ABN中,{AE=BA,∠EAD=∠ABN,AD=BN,
∴△EAD≌△ABN(SAS),
∴DE=AN=2AM.