《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. (吴江区月考)如图,在$\triangle ABC$中,$AC＞AB$,射线 AD 平分$∠BAC$,交 BC 于点 E,点 F 在边 AB 的延长线上,$AF= AC$,连接 EF.
(1)求证:$\triangle AEC\cong \triangle AEF;$
(2)若$∠AEB= 50^{\circ }$,求$∠BEF$的度数.

答案：
(1)证明:
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠FAE.在△AEC和△AEF中,{AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE,}
∴△AEC≌△AEF(SAS).
(2)解:
∵△AEC≌△AEF,
∴∠C=∠F.
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50°,
∴∠FAE+∠F=50°.
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°,
∴∠BEF=180°−50°−50°=80°.

8. 如图,$∠BAC= ∠BAD$,点 E 在线段 AB 上.
(1)添加一个条件,使得可以用“SAS”判定$\triangle ACE\cong \triangle ADE$,你添加的条件是AC=AD;
(2)根据(1)中你添加的条件,求证:$∠BCE= ∠BDE.$

证明:在△ACE和△ADE中,{AC=AD,∠EAC=∠EAD,AE=AE,}∴△ACE≌△ADE(SAS),∴∠ACE=∠ADE.在△ACB和△ADB中,{AC=AD,∠BAC=∠BAD,AB=AB,}∴△ACB≌△ADB(SAS),∴∠ACB=∠ADB.∴∠ACB−∠ACE=∠ADB−∠ADE,即∠BCE=∠BDE.

答案：
(1)AC=AD
(2)证明:在△ACE和△ADE中,{AC=AD,∠EAC=∠EAD,AE=AE,}
∴△ACE≌△ADE(SAS),
∴∠ACE=∠ADE.在△ACB和△ADB中,{AC=AD,∠BAC=∠BAD,AB=AB,}
∴△ACB≌△ADB(SAS),
∴∠ACB=∠ADB.
∴∠ACB−∠ACE=∠ADB−∠ADE,即∠BCE=∠BDE.

9. (徐州中考)如图,$AC⊥BC,DC⊥EC,AC= BC,DC= EC$,AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证:$AE= BD;$
(2)求$∠AFD$的度数.

答案：
(1)证明:
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,{AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,}
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD.
(2)解:如答图，设BC与AE交于点N.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ANC=90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠ANC=∠BNF,
∴∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90°,
∴∠AFD=∠B+∠BNF=90°.