《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

5. 如图,$AD// BC,∠PAB的平分线与∠CBA$的平分线相交于点E,连接CE并延长交AP于点D. 求证：$AD+BC= AB$.

答案：
证明:如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
　　　　　　　　
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,{AD=AF,∠DAE=∠FAE,AE=AE,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠ADE=∠AFE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,{∠EFB=∠C,∠EBF=∠EBC,BE=BE,
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF.
∵AD=AF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.

6. (玄武区月考)如图,在五边形ABCDE中,$AB= AE,BC+DE= CD,∠ABC+∠AED= 180^{\circ }$. 求证：DA平分$∠CDE$.

答案：
证明:如答图,连接AC,延长DE到点F,使EF=BC,连接AF.
∵BC+DE=CD,EF+DE=DF,
∴CD=FD.
∵∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180°,
∴∠ABC=∠AEF.
在△ABC和△AEF中,{AB=AE,∠ABC=∠AEF,BC=EF,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴AC=AF.
在△ACD和△AFD中,{AC=AF,CD=FD,AD=AD,
∴△ACD≌△AFD(SSS),
∴∠ADC=∠ADF,
即DA平分∠CDE.
　　　　　　　

7. (建湖县月考)如图,已知BD为$∠ABC$的平分线,$DE⊥BC$于点E,且$AD= CD$.
(1)求证：$∠BAD+∠BCD= 180^{\circ }$；
(2)试探究线段AB,BC,BE之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)证明:如答图,过点D作DF⊥BA于点F.
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠FBD.
∵DE⊥BC,DF⊥AB,
∴∠BED=∠BFD=90°.
在△BDE和△BDF中,{∠EBD=∠FBD,∠BED=∠BFD,BD=BD,
∴△BDE≌△BDF(AAS),
∴DE=DF.
在Rt△ADF和Rt△CDE中,{AD=CD,DF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL),
∴∠DAF=∠DCE,AF=CE.
∵∠DAF+∠BAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
(2)解:AB+BC=2BE.理由如下:
由
(1)可知△BDF≌△BDE,则BF=BE,
∴AB+BC=BF - AF+BE+EC=2BE.
　　　　　　　

8. 如图,在$△ABC$中,AD平分$∠BAC$,且$BD= CD$. 求证：$∠B= ∠C$.

答案：
证明:如答图,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,则∠DEA=∠DFA=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
又
∵∠DEA=∠DFA,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS),
∴DE=DF.
又
∵BD=CD,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),
∴∠B=∠C.