《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,在长方形ABCD中,$AB= 5$,$AD= 13$,E为BC上一点,将$\triangle ABE$沿AE折叠,使点B落在长方形内点F处,连接DF,$DF= 12$。
(1) 求证：$\triangle ADF$是直角三角形；
(2) 求BE的长。

答案：
(1)证明:根据折叠可知AB=AF=5.
∵AD=13,DF=12,$12^{2}+5^{2}=13^{2}$,
即FD²+AF²=AD²,
∴△ADF是直角三角形,且∠AFD=90°.
(2)解:由折叠知∠AFE=∠B=90°,
由
(1)知∠AFD=90°,
∴∠DFE=180°,
∴D,F,E三点在同一条直线上.
由折叠知∠AEF=∠AEB.
∵AD//BC,
∴∠AEB=∠EAD,
∴∠AEF=∠EAD,
∴DE=AD=13,
∴EF=DE-DF=13-12=1,
∴由折叠知BE=EF=1.

9. (张家港期中)如图,一张长方形纸片ABCD,$AB= 4$,$AD= 9$。点F在这张长方形纸片的边BC上,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点$A'$,$B'$处。
(1) 若$∠ADF= 40^{\circ }$,则$∠DGF$的度数为70°；
(2) 若$AG= \frac {7}{3}$,求$B'D$的长。

解:∵AG=$\frac{7}{3}$,AD=9,∴GD=$9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD//BC,BC=AD=9,∴∠DGF=∠BFG.
由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,
∴∠DFG=∠DGF,∴DF=DG=$\frac{20}{3}$.
在Rt△CDF中,由勾股定理,得CF=$\sqrt{DF^{2}-CD^{2}}=\frac{16}{3}$,
∴BF=BC-CF=$9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$.
由翻折不变性,可知FB=FB'=$\frac{11}{3}$,
∴B'D=DF-FB'=$\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$.

答案：
(1)70°
(2)解:
∵AG=$\frac{7}{3}$,AD=9,
∴GD=$9-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD//BC,BC=AD=9,
∴∠DGF=∠BFG.
由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,
∴∠DFG=∠DGF,
∴DF=DG=$\frac{20}{3}$.
在Rt△CDF中,由勾股定理,得CF=$\sqrt{DF^{2}-CD^{2}}=\frac{16}{3}$,
∴BF=BC-CF=$9-\frac{16}{3}=\frac{11}{3}$.
由翻折不变性,可知FB=FB'=$\frac{11}{3}$,
∴B'D=DF-FB'=$\frac{20}{3}-\frac{11}{3}=3$.

10. 如图,在正方形ABCD中,$AB= 6$,点E在边CD上,且$CD= 3DE$,将$\triangle ADE$沿AE对折至$\triangle AFE$,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF。
(1) 求证：$\triangle ABG≌\triangle AFG$；
(2) 求BG的长；
(3) 求$\triangle FEC$的面积。

答案：
(1)证明:
∵△AFE是由△ADE折叠得到的,
∴AF=AD,∠AFE=∠D=∠AFG=90°.
又
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
∴AB=AF,∠B=∠AFG=90°.
在Rt△ABG和Rt△AFG中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AF,\\ AG=AG,\end{array}\right. $
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
(2)解:
∵在正方形ABCD中,AB=6,CD=3DE,
∴EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2,CE=CD-DE=4.
∵△ABG≌△AFG,
∴BG=FG.
设BG=FG=x,则CG=6-x,EG=2+x.
在Rt△ECG中,根据勾股定理,得
$(6-x)^{2}+4^{2}=(x+2)^{2}$,解得x=3,
∴BG=3.
(3)解:由
(2)知EF=2,BG=FG=3,
∴EG=EF+FG=5,CG=BC-BG=3,
∴S△ECG=$\frac{1}{2}$CG·CE=$\frac{1}{2}×3×4=6$,
∴S△FEC=$\frac{2}{5}$S△ECG=$\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}$.