《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

9. (10 分)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,BD 为$\triangle ABC$的中线,且 BD 将$\triangle ABC$的周长分为 12 cm 与15 cm 两部分,求$\triangle ABC$的各边长.

答案：
解:如答图.
∵DB为△ABC的中线,
∴AD=CD.
　设AD=CD=x,则AB=2x.
　若x+2x=12,BC+x=15,解得x=4,BC=11.
　此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;
　若x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,
　此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.
　　　　　　　　　

10. (16 分)如图,在$\triangle ABC$中,AD 是高,CE 是中线,G 是 CE 的中点,$DG⊥CE$,垂足为 G.
(1)求证:$DC= BE$;
(2)若$∠AEC= 66^{\circ }$,求$∠BCE$的度数.

答案：
(1)证明:
∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC.
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$AB,
∴DC=BE.
(2)解:
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE.
∵DE=BE,
∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°,
∴∠BCE=22°.

11. (26 分)如图①,已知$\triangle ABC和\triangle EFC$都是等边三角形,且点 E 在线段 AB 上.
(1)求证:$BF// AC$;
(2)过点 E 作$EG// BC$交 AC 于点 G,试判断$\triangle AEG$的形状,并说明理由;
(3)如图②,若点 D 在射线 CA 上,且$ED= EC$,求证:$AB= AD+BF$.

答案：

(1)证明:
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,CE=CF,
∴∠ACE=∠BCF.
　在△ACE和△BCF中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC\\ ∠ACE=∠BCF\\ CE=CF\end{array}\right. $
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴∠A=∠CBF=60°.
∵∠ABC=60°,
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°,
　即∠A+∠ABF=180°,
∴AC//BF.
(2)解:△AEG是等边三角形.理由如下:
　过点E作EG//BC交AC于点G.如答图①.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG//BC,
∴∠AEG=∠ABC=60°,∠AGE=∠ACB=60°,
∴∠A=∠AEG=∠AGE=60°,
∴△AEG是等边三角形
　　　
(3)证明:如答图②,过点E作EM//BC交AC于点M,则∠AEM=∠ABC=60°,∠AME=∠ACB=60°.
∵∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAC=∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等边三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=120°.
∵DE=CE,
∴∠D=∠MCE.
在△ADE和△MCE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DAE=∠CME\\ ∠D=∠MCE\\ AE=ME\end{array}\right. $
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=MC;
由
(1)得△ACE≌△BCF,
∴AE=BF,
∴BF=AM.
∵AC=AM+CM,
∴AC=BF+AD,
∴AB=AD+BF.