《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

5. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了出入相补原理. 若图中空白部分的面积是15,整个图形(连同空白部分)的面积是39,则大正方形的面积是 (B)
A.24
B.27
C.25
D.32

答案： B

6. 勾股定理最早记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”. 图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的. 记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$. 若正方形EFGH的边长为4,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}= $48.

答案： 48

7. (溧水区期末)如图,在$△ABD$中,$AC⊥BD$于点C,E为AC上一点,连接BE,DE,DE的延长线交AB于点F,已知$DE= AB,∠CAD= 45^{\circ }$.
(1)求证:$DF⊥AB$.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },BC= a,$$AC= b,AB= c$,求证:$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.

答案：
(1)证明：
∵AC⊥BD，∠CAD=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD。
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵AB=DE，AC=DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴∠BAC=∠EDC。
∵∠EDC+∠DEC=90°，∠DEC=∠AEF，
∴∠BAC+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即DF⊥AB。
(2)证明：设BC=a，CE=b，AB=DE=c，
∵Rt△ABC≌Rt△DEC，
∴AC=CD，设AC=CD=x，则AE=x-b。
阴影部分面积=S△ABD - S△AFE - S△BFE。
S△ABD=1/2·BD·AC=1/2(a+x)x，
S△AFE + S△BFE=1/2·AB·EF=1/2c·EF，
又阴影部分面积=S△BCE + S△CDE + S△ABE=1/2ab + 1/2bx + 1/2b(x - b)=1/2ab + bx - 1/2b²。
由
(1)知DF⊥AB，同理可证相关三角形面积关系，
通过面积等量代换可得：a² + b² = c²。

8. 如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形. 在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },$$BC= a,AC= b,AB= c$,正方形IECF的边长为x.
(1)小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD= BE= a-x,AD= AF= b-x$. 因为$AB= BD+AD$,所以$a-x+b-x= c$,解得$x= $$\frac{a+b-c}{2}$.
(2)小亮发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ABC}= S_{△AIB}+S_{△AIC}+S_{△BIC}$可以得到x与a,b,c的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程.解:∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AIB}+S_{\triangle BIC}+S_{\triangle AIC},$∴$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx,$∴$x=\frac{ab}{a+b+c},$∴x与a,b,c的关系为$x=\frac{ab}{a+b+c}.$
(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.解:根据(1)和(2),得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c},$∴2ab=(a+b+c)(a+b-c),∴(a+b)^{2}-c^{2}=2ab,∴a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=2ab,∴a^{2}+b^{2}=c^{2}.

答案： $(1)\frac{a+b-c}{2}(2)$解:
∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AIB}+S_{\triangle BIC}+S_{\triangle AIC},$
∴$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx,$
∴$x=\frac{ab}{a+b+c},$
∴x与a,b,c的关系为$x=\frac{ab}{a+b+c}.(3)$解:根据
(1)和
(2),得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c},$
∴2ab=(a+b+c)(a+b-c),
∴(a+b)^{2}-c^{2}=2ab,
∴a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=2ab,
∴a^{2}+b^{2}=c^{2}.