《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC,\angle A= 30^{\circ },CD\perp AC$交AB于点D,$CD= 1$,则AB的长是3.

答案： 3

9. 如图,$\angle AOB= 30^{\circ }$,P是$\angle AOB$内一点,$PO= 10$,Q,R分别是OA,OB上的动点,则$\triangle PQR$周长的最小值是______10.

答案： 10

10. 如图,在等边三角形ABC中,$\angle ABC与\angle ACB$的平分线相交于点O,且$OD// AB,OE// AC$.
(1)试判断$\triangle ODE$的形状,并说明理由;
(2)若$BC= 20$,求$\triangle ODE$的周长.

答案： 解:
(1)△ODE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD//AB,OE//AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
(2)
∵BO平分∠ABC,OD//AB，
∴∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD.
同理可证CE=OE.
∵△ODE的周长=DO+OE+ED=BD+DE+EC=BC=20.

11. 如图,A是线段CB上一点,$\triangle ABD,\triangle ACE$都是等边三角形,AD与BE相交于点G,AE与CD相交于点F.
(1)求证:$\triangle BAE\cong \triangle DAC$;
(2)求证:$\triangle AGF$是等边三角形;
(3)设BE,CD相交于点P,连接AP,求$\angle APB$的度数.

答案：
11.
(1)证明:
∵△ABD,△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠DAC.
在△BAE和△DAC中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right. $
∴△BAE≌△DAC(SAS).
(2)证明:
∵△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BAD=∠EAC=60°,
∴∠DAF=180°-∠BAD-∠EAC=60°=∠BAG.
在△BAG和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABG=∠ADF,\\ AB=AD,\\ ∠BAG=∠DAF,\end{array}\right. $
∴△BAG≌△DAF(ASA),
∴AG=AF.
∵∠GAF=60°,
∴△AGF是等边三角形.
(3)解:如答图,作AM⊥BE于点M,AN⊥CD于点N.
由
(1)知△BAE≌△DAC,
∴∠ABG=∠ADF.
∵∠BGD=∠ABG+∠BAD=∠ADF+∠GPD，
∴∠GPD=∠BAD=60°,
∴∠BPC=120°.
∵△DAC≌△BAE,
∴CD=BE,$S_{\triangle DAC}=S_{\triangle BAE}$.
∵AM⊥BE,AN⊥CD,
∴$\frac{1}{2}BE\cdot AM=\frac{1}{2}CD\cdot AN$,
∴AM=AN,
∴点A在∠BPC的平分线上，
即PA平分∠BPC,
∴∠APB=60°.