《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

10. 如图,在△ABC中,AC= AE,BC= BD,
(1)若∠A= 20°,∠B= 40°,则∠DCE的度数是30°；
(2)若∠ACB= 110°,求∠DCE的度数.
解:设∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,则α+β−∠DCE=∠ACB=110°,∴∠DCE=α+β−110°=180°−∠DCE−110°,∴∠DCE=35°.

答案：
(1)30°
(2)解:设∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,则α+β−∠DCE=∠ACB=110°,
∴∠DCE=α+β−110°=180°−∠DCE−110°,
∴∠DCE=35°.

11. (秦淮区期末)如图,在△ABC中,AE= BE,∠AED= ∠ABC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若AB= CB,∠AED= 4∠EAD,求∠C的度数.

答案：
(1)证明:
∵∠AED=∠ABC,∠AED=∠ABE+∠EAB,∠ABC=∠ABE+∠DBC,
∴∠EAB=∠DBC.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠ABE,
∴∠DBC=∠ABE,
∴BD平分∠ABC.
(2)解:设∠EAD=x,则∠AED=4x.
∵∠AED=∠ABE+∠EAB,∠EAB=∠ABE,BD平分∠ABC,
∴∠BAE=2x,∠ABC=4x,
∴∠BAC=3x.
∵AB=CB,
∴∠BAC=∠C,
∴∠C=3x.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°,
∴∠C=3x=54°,即∠C的度数是54°

12. 在△ABC中,AB= AC.
(1)如图①,若P是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC于点E,BD为△ABC的高线,试探究PE,PF与BD之间的数量关系；
(2)如图②,若P是BC延长线上一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC交AC的延长线于点E,CD为△ABC的高线,试探究PE,PF与CD之间的数量关系.

答案： 解:
(1)如答图①,连接AP,则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AB\cdot PF+\frac{1}{2}AC\cdot PE$.
∵AB=AC,
∴BD=PE+PF.
(2)如答图②,连接AP,则$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}-S_{\triangle ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AB\cdot PF-\frac{1}{2}AC\cdot PE$.
∵AB=AC,
∴CD=PF-PE.