《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

1. 如图,$\triangle ABC和\triangle BED$都是等边三角形,且点$A$,$E$,$D$在同一条直线上.
求证：$AD = BD + CD$.

答案： 证明：
∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=CB，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.
∵∠ABE=60°-∠EBC，∠CBD=60°-∠EBC，
∴∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中，AB=CB，∠ABE=∠CBD，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD.
又
∵△BED是等边三角形，
∴BD=DE.
∵AD=DE+AE，
∴AD=BD+CD.

2. (溧阳月考改编)如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边的中点,$DE\perp DF于点D$,$DE交AB于点E$,$DF交AC于点F$,连接$EF$. 求证：$BE + CF ＞ EF$.

答案：
证明：如答图，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD.
在△BMD和△CFD中，BD=CD，∠BDM=∠CDF，DM=DF，
∴△BMD≌△CFD(SAS)，
∴BM=CF.
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠EDM=90°.
在△EDF和△EDM中，ED=ED，∠EDF=∠EDM，FD=MD，
∴△EDF≌△EDM(SAS)，
∴EF=EM.
在△BME中，由三角形的三边关系，
得BE+BM＞EM，即BE+CF＞EF.

3. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$AC = BC$,$\angle BAC = 45^{\circ}$,$\angle ACB = 90^{\circ}$. 点$D在线段AB$上运动(不与点$A$,$B$重合),连接$CD$.$CE在CD$右侧,且$\angle DCE = 45^{\circ}$. 当点$E不与点A$重合时,$AE\perp AB$,连接$DE$. 线段$BD$,$AE$,$DE$三者之间在数量上满足怎样的等量关系？请证明.

答案：
解：分两种情况考虑.
第一种情况：如答图①，当CE在CA左侧时，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于点F，
则∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCF.
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°.
∵∠CAB=45°，
∴∠CBF=∠CAE=135°.
在△CBF和△CAE中，∠BCF=∠ACE，BC=AC，∠CBF=∠CAE，
∴△CBF≌△CAE(ASA)，
∴BF=AE，CF=CE.
∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠DCF=45°.
在△DCE和△DCF中，CE=CF，∠DCE=∠DCF，CD=CD，
∴△DCE≌△DCF(SAS)，
∴DE=DF.
∵BD+BF=DF，
∴BD+AE=DE.
第二种情况：如答图②，当CE在CA右侧时，过点C作CF⊥CE，交AB于点F，同上得△CBF≌△CAE，△DCE≌△DCF，
∴BF=AE，DE=DF.
∵DF=BD-BF，
∴BD-AE=DE.
综上所述，当CE在CA左侧时，BD+AE=DE；当CE在CA右侧时，BD-AE=DE.