《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. 如图,在$△ABC$中,$∠B= ∠C= 60^{\circ }$,点 D 在 AB 边上,$DE⊥AB$,并与 AC 边交于点 E. 如果$AD= 1,BC= 6$,那么 CE 的长为 4.

答案： 4

8. 如图,在$△ABC$中,CD 是中线,且$CD= \frac {1}{2}AB$.求证:$△ABC$是直角三角形.

答案： 证明:
∵CD是中线,
∴AD=BD= $\frac{1}{2}$AB.
∵CD= $\frac{1}{2}$AB,
∴AD=BD=CD.
∴∠A=∠DCA,∠B=∠DCB.
又
∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°,
∴∠ACB=90°.
即△ABC是直角三角形.

9. (鼓楼区期末)如图,在$△ABC$中,BD,CE 分别是 AC,AB 边上的高,F 是 BC 的中点.
(1)求证:$△DEF$是等腰三角形;
(2)若$∠A= 60^{\circ },DE= 2$,求 BC 的长.

答案：
(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF= $\frac{1}{2}$BC,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF= $\frac{1}{2}$BC,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴BC=2DE=4.

10. (上海期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠B= 15^{\circ }$,边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 E,垂足为 D,取线段 BE 的中点 F,连接 DF. 求证:$AC= DF.$

答案： 证明:如答图,连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠EDB=90°,
∴∠EAB=∠EBA=15°,
∴∠AEC=30°.
∵在Rt△EDB中,F是BE的中点,
∴DF= $\frac{1}{2}$BE.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=30°,
∴AC= $\frac{1}{2}$AE,
∴AC=DF.