《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

4. 已知四边形$ABCD$中,$AB\perp AD$,$BC\perp CD$,$AB = BC$,$\angle ADC = 120^{\circ}$. 将一个足够大的三角尺$MNB的30^{\circ}角顶点与四边形ABCD的顶点B$重合,当三角尺的$30^{\circ}$角($\angle MBN$)绕着点$B$旋转时,它的两边分别交边$AD$,$DC所在直线于点E$,$F$.
(1) 当$\angle MBN绕点B旋转到AE = CF$时(如图①),请直接写出$AE$,$CF$,$EF$之间的数量关系.
(2) 当$\angle MBN绕点B旋转到AE\neq CF$时(如图②),(1)中的结论是否仍成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段$AE$,$CF$,$EF$之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并说明理由.
(3) 当$\angle MBN绕点B旋转到AE\neq CF$时(如图③和图④),请分别直接写出线段$AE$,$CF$,$EF$之间的数量关系.

答案：
解：
(1)AE+CF=EF.
(2)
(1)中的结论仍然成立. 证明如下：

如答图，延长EA到点G，使AG=FC，连接BG.
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠BAG=∠BAD=∠BCD=90°.
又
∵GA=FC，AB=CB，
∴△GAB≌△FCB(SAS)，
∴∠GBA=∠FBC，GB=FB.
∵∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠FBC+∠FBA=60°，
∴∠GBA+∠FBA=60°，即∠GBF=60°.
∵∠EBF=30°，
∴∠GBE=∠EBF=30°.
又
∵GB=FB，BE=BE，
∴△GBE≌△FBE(SAS)，
∴GE=FE.
∵GE=AG+AE，
∴EF=AE+CF.
(3)题图③中，AE-CF=EF；题图④中，AE+EF=CF.