《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

10.(12分)(2024秋·南通期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E分别是AB$,$BC$上的点,连接$ED并延长交CA的延长线于点F$,$BD = 3$,$BE = 2$,$DE = \sqrt{5}$.
(1)求证：$EF⊥BC$；
(2)求证：$\triangle ADF$是等腰三角形.

答案： 证明:
(1)
∵BD=3,BE=2,DE=√5,2²+(√5)²=9=3²,
∴BE²+DE²=BD²,
∴△BDE是直角三角形,且∠BED=90°,即EF⊥BC.
(2)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C;
∵DE⊥BC,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,
∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.

11.(18分)定义：如果一个三角形的两个内角$\alpha与\beta满足2\alpha+\beta = 90^{\circ}$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若$\triangle ABC$是“准互余三角形”,$∠C＞90^{\circ}$,$∠A = 60^{\circ}$,则$∠B$的度数是______15°.
(2)若$\triangle ABC$是直角三角形,$∠ACB = 90^{\circ}$.
①如图,若$AD是∠BAC$的平分线,请判断$\triangle ABD$是否为“准互余三角形”,并说明理由；
②$E是边BC$上一点,$\triangle ABE$是“准互余三角形”,若$∠ABC = 24^{\circ}$,则$∠EAC$的度数是______33°或24°.

答案：
(1)15°
(2)①解:△ABD是“准互余三角形”.理由如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.②33°或24°

12.(16分)跨学科题(栖霞区期末)如图,一台环卫车沿公路$AB由点A向点B$行驶,已知点$C$为一所学校,且点$C与直线AB上两点A$,$B$的距离分别为150m和200m,又$AB = 250m$,环卫车周围130m以内为受噪声影响区域.
(1)学校$C$会受到噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为每分钟50m,环卫车噪声影响该学校的时间持续多少分钟？

答案： 解:
(1)学校C会受到噪声影响.理由如下:如答图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150m,BC=200m,AB=250m,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形.
∴AC×BC=CD×AB,即150×200=250×CD,
∴CD=150×200÷250 = 120(m).
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受到噪声影响.
(2)当EC=130m,FC=130m时,正好影响学校C.
∵ED=√(EC² - CD²)=√(130² - 120²)=50(m),
∴EF=100m.100÷50 = 2(分).答:环卫车噪声影响该学校的时间持续2分钟.