《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

9. 如图,$AB= AD,BC= DC$,点$E在AC$上.
求证:(1)$AC平分∠BAD$;
(2)$BE= DE$.

答案：
(1)证明:在△ABC和△ADC中,{AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∴AC平分∠BAD.
(2)证明:在△ABE和△ADE中,{AB=AD,∠BAE=∠DAE,AE=AE,
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= AC$,对角线$AC,BD相交于点O$,$E是BD$上一点,且$AE= AD,BE= CD$.
求证:(1)$∠ABD= ∠ACD$;
(2)$∠BAC= ∠BDC$.

答案：
(1)证明:在△ABE和△ACD中,{AB=AC,BE=CD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SSS),
∴∠ABD=∠ACD.
(2)证明:
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角,
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC,∠BOC=∠ACD+∠BDC,
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠BAC=∠BDC.

11. (2024春·苏州期末)如图,$AD,BF相交于点O,AB= DF$. 点$E,C在BF$上,且$BE= FC,AC= DE$. 求证:$AO= DO$.

答案： 证明:
∵BE=FC,
∴BE+CE=FC+CE,即BC=FE.在△ABC和△DFE中,{BC=FE,AC=DE,AB=DF,
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠ACB=∠DEF.在△AOC和△DOE中,{∠ACO=∠DEO,∠AOC=∠DOE,AC=DE,
∴△AOC≌△DOE(AAS),
∴AO=DO.