《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. 如图,已知$∠A= ∠D= 90^{\circ}$,$AC= DB$,$AC$,$DB相交于点O$.
(1)求证：$OB= OC$；
(2)若取$BC的中点E$,试判断$OE与BC$的位置关系并说明理由.

答案：
(1)证明:在Rt△ABC和Rt△DCB中,{AC=DB,BC=CB,}
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC.
(2)解:OE⊥BC于点E.理由如下:由
(1)中结论可得OB=OC;又
∵BE=CE,OE=OE,
∴△OBE≌△OCE(SSS),
∴∠OEB=∠OEC.
∵∠OEB+∠OEC=180°,
∴∠OEB=∠OEC=90°,
∴OE⊥BC.

8. (姑苏区期末)如图,在$△ABC$中,$AB= BC$,$∠ABC= 90^{\circ}$,$F为AB$的延长线上一点,点$E在BC$上,且$AE= CF$.
(1)求证：$Rt△ABE≌Rt△CBF$；
(2)若$∠CAE= 30^{\circ}$,求$∠ACF$的度数.

答案：
(1)证明:
∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=∠ABE=90°,在Rt△ABE和Rt△CBF中,{AE=CF,AB=CB,}
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)解:
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°.
∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=∠CAB−∠CAE=15°.由
(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.

9. 将两个全等的$Rt△ABC和Rt△DBE$按如图①的方式摆放,其中$∠ACB= ∠DEB= 90^{\circ}$,$∠A= ∠D= 30^{\circ}$,点$E落在AB$上,$DE所在直线交AC所在直线于点F$.
(1)求证：$AF+EF= DE$.
(2)若将图①中的$△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α$,且$0^{\circ}＜α＜60^{\circ}$,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的$△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β$,且$60^{\circ}＜β＜180^{\circ}$,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立,写出证明过程；若不成立,请写出此时$AF$,$EF与DE$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:如答图①,连接BF.
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.在Rt△BCF和Rt△BEF中,{BC=BE,BF=BF,}
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE;
(2)解:
(1)中的结论仍然成立.理由如下:如答图②,延长DE交AC于点F,连接BF.
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.在Rt△BCF和Rt△BEF中,{BC=BE,BF=BF,}
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE.
(3)解:
(1)中的结论不成立,AF - EF=DE;理由如下:如答图③，连接BF;
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.在Rt△BCF和Rt△BEF中,{BC=BE,BF=BF,}
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴CF=EF;
∵AF−FC=AC=DE,
∴AF−EF=DE.