《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. 如图,$\angle AOB = 42^{\circ}$,P为$\angle AOB$内一点,$ P' $,$ P'' $分别是点P关于OA,OB的对称点,连接$ P'P'' $,分别交OA,OB于点M,N.如果$ P'P'' = 5 \text{ cm} $,$\triangle PMN$的周长为l,$\angle P'OP''的度数为\alpha$,那么l和$\alpha$的值分别是 (A)

A.$ l = 5 \text{ cm} $,$\alpha = 84^{\circ}$
B.$ l = 5 \text{ cm} $,$\alpha = 85^{\circ}$
C.$ l = 6 \text{ cm} $,$\alpha = 80^{\circ}$
D.$ l = 6 \text{ cm} $,$\alpha = 85^{\circ}$

答案： A

9. 如图,线段AB,BC的垂直平分线$ l_1 $,$ l_2 $相交于点O.若$\angle 1 = 38^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为______76°.

答案： 76°

10. 如图,P是$\angle AOB$平分线上一点,$ PC \perp OA $,$ PD \perp OB $,垂足分别为C,D,连接CD.
求证:(1)$\angle PCD = \angle PDC$;
(2)OP是线段CD的垂直平分线.

答案： 证明:
(1)
∵OP是∠AOB的平分线,且PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC.
(2)
∵PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠OCP=∠ODP=90°.在Rt△POC和Rt△POD中,$\begin{cases} PC=PD, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴OC=OD.又
∵PC=PD,
∴OP是线段CD的垂直平分线.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB$的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,$ DM \perp AB $于点M,$ DN \perp AC $,交AC的延长线于点N.
求证:(1)$ BM = CN $;
(2)$ AM = AN = \frac{1}{2}(AB + AC) $.

答案：
证明:
(1)如答图，连接BD.
∵AD是∠CAB的平分线,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,∠DAB=∠DAC.
∵DE垂直平分BC,
∴DB=DC.在Rt△DMB和Rt△DNC中,$\begin{cases} DB=DC, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL),
∴BM=CN.
(2)在△ADM和△ADN中,$\begin{cases} ∠DAM=∠DAN, \\ ∠AMD=∠AND=90°, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADM≌△ADN(AAS),
∴AM=AN,
∴AM=AN=$\frac{1}{2}$(AB - BM + AC + CN)=$\frac{1}{2}$(AB + AC).