《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

8. (2024春·无锡期中改编)如图,$CB⊥AD,AE⊥CD$,垂足分别为B,E,且AE,BC相交于点F.若$AB= BC= 16,CF= 8$,连接DF,求图中阴影部分的面积.

答案： 解:
∵CB⊥AD，AE⊥CD，
∴∠ABF=∠CBD=90°，∠FEC=90°.
∵∠AFB=∠EFC，
∴∠A=∠C.在△ABF和△CBD中，∠ABF=∠CBD，AB=CB，∠A=∠C，
∴△ABF≌△CBD(ASA)，
∴BF=BD.
∵BF=BC - CF=16 - 8=8，
∴BD=8，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$·FC·BD=$\frac{1}{2}$×8×8=32.

9. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,过点C作$CD⊥AB$,垂足为D.在射线CD上截取$CE= CA$,过点E作$EF⊥CE$,交CB的延长线于点F.
(1)求证:$△ABC\cong △CFE;$
(2)若$AB= 9,EF= 5$,求BF的长.

答案：
(1)证明:
∵EF⊥CE，
∴∠E=90°.
∵∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠A=∠ECF=90° - ∠ACE.在△ABC和△CFE中，∠A=∠ECF，CA=EC，∠ACB=∠E=90°，
∴△ABC≌△CFE(ASA).
(2)解:
∵△ABC≌△CFE，
∴CF=AB=9，CB=EF=5，
∴BF=CF - CB=9 - 5=4.

10. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,E为CD的中点,连接AE,BE,$BE⊥AE$,延长AE交BC的延长线于点F.$AD= 2cm,BC= 5cm$.
(1)求证:$AD= FC;$
(2)求AB的长.

答案：
(1)证明:
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE.在△ADE和△FCE中，∠ADE=∠FCE，DE=CE，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴AD=FC.
(2)解:
∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF.
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠FEB=90°.在△ABE和△FBE中，AE=FE，∠AEB=∠FEB，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴AB=BF.
∵AD=2cm，BC=5cm，
∴AB=BF=BC + CF=BC + AD=5 + 2=7(cm).

11. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,点E,F分别在AD,BC上,过点A,C分别作EF的垂线,垂足分别为G,H,且$EH= FG$.
(1)求证:$△AGE\cong △CHF;$
(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分? 请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵EH=FG，
∴EH - EF=FG - EF，即FH=EG.
∵AG⊥EF，CH⊥EF，
∴∠G=∠H=90°.
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE.
∵∠AEG=∠DEF，∠CFH=∠BFE
∴∠AEG=∠CFH.在△AGE和△CHF中，∠G=∠H，EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴△AGE≌△CHF(ASA).
(2)解:线段GH与AC互相平分.理由如下:如答图，连接AC交GH于点O.
∵△AGE≌△CHF，
∴AG=CH.
∵∠G=∠H=90°，
∴AG//CH，
∴∠OAG=∠OCH.在△OAG和△OCH中，∠G=∠H，AG=CH，∠OAG=∠OCH，
∴△OAG≌△OCH(ASA)，
∴OA=OC，OG=OH，
∴线段GH与AC互相平分.