《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版徐州专版》

7. 如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别是3和4,则正方形的边长是 (A)

A.5
B.3
C.$\sqrt {5}$
D.$\sqrt {3}$

答案： A

8. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AB= 5cm,AC= 3cm$,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动.设运动的时间为t s,当$t= $2或$\frac{25}{8}$s时,$△ABP$为直角三角形.

答案： 2或$\frac{25}{8}$

9. 在$△ABC$中,$AB= 15,AC= 13$,高$AD= 12$,则BC的长为14或4.

答案： 14或4

10. 如图,在四边形ABCD中,$∠BAD= ∠DCB= 90^{\circ }$,E,F分别是BD,AC的中点,$∠ADC= 120^{\circ },EF= 1$,则AF的长为____$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

11. 如图,AD是$△ABC$的中线,$DE⊥AC$于点E,DF是$△ABD$的中线,且$CE= 2,DE= 4,AE= 8$.求DF的长.

答案： 解:
∵$DE\perp AC$于点E，
∴$\angle AED=\angle CED=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADE$中，由勾股定理，得$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}=8^{2}+4^{2}=80$.同理$CD^{2}=20$，
∴$AD^{2}+CD^{2}=100$.
∵$AC=AE+CE=8+2=10$，
∴$AC^{2}=100$，
∴$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，
∴$\triangle ADC$是直角三角形，
∴$AD\perp BC$；
又
∵$AD$是$\triangle ABC$的中线，
∴$AD$垂直平分$BC$，
∴$AB=AC=10$.
在$Rt\triangle ADB$中，
∵$\angle ADB=90^{\circ}$，F是边$AB$的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AB=5$.

12. 在$△ABC$中,$BC= a,AC= b,AB= c$,若$∠C= 90^{\circ }$,如图①,根据勾股定理,$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.若$△ABC$不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$的关系,并证明你的结论.

答案： 解:当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$；当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$\angle C$为钝角，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$.理由如下:
当$\triangle ABC$是锐角三角形时，如答图①，过点A作$AD\perp BC$，垂足为D，设$CD$为$x$，则$BD=a - x$；
由勾股定理，得$b^{2}-x^{2}=AD^{2}=c^{2}-(a - x)^{2}$，
即$b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax - x^{2}$，
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ax$.
∵$a＞0$，$x＞0$，
∴$2ax＞0$，
∴$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
当$\triangle ABC$是钝角三角形时，如答图②，过点B作$BD\perp AC$，交$AC$的延长线于点D.
设$CD$为$x$，则$BD^{2}=a^{2}-x^{2}$.
由勾股定理，得$(b + x)^{2}+a^{2}-x^{2}=c^{2}$，
即$a^{2}+b^{2}+2bx=c^{2}$.
∵$b＞0$，$x＞0$，
∴$2bx＞0$，
∴$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$.