《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

6. [变式] 如图,AB,DE是⊙O的直径,点C在⊙O上,$\overset{\frown}{AD}$= $\overset{\frown}{CE}$,连接OC.
求证：(1)BE= CE；(2)OE平分∠BOC.

答案：
(1) 证明成立，$BE = CE$。
(2) 证明成立，$OE$平分$\angle BOC$。

7. 如图,⊙O的半径为2cm,且AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,若$\overset{\frown}{AD}$= $\overset{\frown}{DC}$= $\overset{\frown}{CB}$,求四边形ABCD的周长.

答案： 四边形$ABCD$的周长为$10cm$。

8. 如图,∠AOB= 90°,C,D是以点O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,AB交OC于点E.
求证：AE= CD.

答案： 连接$AC$。
$\because C$，$D$是以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，$\therefore\angle AOC = \angle COD=\angle DOB$。
$\because\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AOC=\angle COD = \angle DOB = 30^{\circ}$。
$\because OA = OC$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，$\therefore\angle OAC=\angle OCA = 75^{\circ}$。
$\because\angle AOB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore\angle OAB=\angle OBA = 45^{\circ}$。
$\therefore\angle EAC=\angle OAC-\angle OAB = 75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$。
$\therefore\angle AEC=\angle EAC+\angle ACE = 30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$。
$\therefore\angle OAC=\angle AEC$，$\therefore AE = AC$。
又$\because\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AC = CD$。
$\therefore AE = CD$。
综上，$AE = CD$得证。