《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

4. [变式]在平面直角坐标系中,某抛物线的顶点为$A(1,-4)$,且过点$B(3,0)$.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线如何平移后所得图象的顶点为坐标原点?

答案：
(1)抛物线的解析式为$y=(x - 1)^{2}-4$（或$y=x^{2}-2x - 3$）；
(2)将抛物线先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度。

5. 如图,把抛物线$y = x^2沿直线y = x平移\sqrt{2}$个单位长度后,其顶点落在直线上的点$A$处,则平移后抛物线的解析式为______.

答案： $y=(x - 1)^{2}+1$

6. [2024平潭月考]若点$A(m - 1,y_1)$,$B(m,y_2)$,$C(m + 2,y_3)都在抛物线y = ax^2 - 4ax + 4$($a ＞ 0$)上,且总有$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$,则$m$的取值范围是()
A. $m ＜ 1$
B. $0 ＜ m ＜ 1$
C. $1 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$
D. $m ＞ \frac{3}{2}$

答案： C

7. 已知将抛物线$y = a(x - h)^2 + k先向左平移2$个单位,再向上平移$4$个单位,得到抛物线$y = - \frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3$.
(1)求$a$,$h$,$k$的值；
(2)写出抛物线$y = a(x - h)^2 + k$的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： （1）$a = -\frac{1}{2}$，$h = 1$，$k = -1$；
（2）开口方向向下，对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-1)$。