《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

7. [变式][2024广安中考]若关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数

根,求$m$的取值范围.

答案： $m$的取值范围是$m＜0$且$m\neq - 1$。

8. [2024宿迁中考]规定:对于任意实数$a$,$b$,$c$,有$[a,b]★c = ac + b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1 = 2×1 + 3 = 5$.若关于$x的方程[x,x + 1]★(mx) = 0$有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围.

答案： $m$的取值范围是$m\lt\frac{1}{4}$且$m\neq0$。

9. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$.
(1)当$b = a + c$时,求证:方程总有两个实数根;
(2)当$b = a + 2c$时,请判断方程根的情况,并说明理由;
(3)当$b = a + 3c$时,请判断方程根的情况是否与(2)中的根的情况一样,并说明理由.

答案： （1）证明：当$b = a + c$时，$\Delta=(a + c)^{2}-4ac=a^{2}-2ac + c^{2}=(a - c)^{2}\geqslant0$，所以方程总有两个实数根。
（2）当$b = a + 2c$时，$\Delta=(a + 2c)^{2}-4ac=a^{2}+4c^{2}\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。
（3）当$b = a + 3c$时，$\Delta=(a + 3c)^{2}-4ac=(a + c)^{2}+8c^{2}\gt0$，方程有两个不相等的实数根，与（2）中根的情况一样。