搜索
例1. 关于x的一元二次方程$kx^{2}-6x+9=0$有实数根，求k的取值范围.
错解：∵一元二次方程$kx^{2}-6x+9=0$有实数根
∴$\Delta \geqslant 0$
∴$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$
解得$k\leqslant 1$.
正解：
易错防范：当一元二次方程的二次项系数含字母时，应结合一元二次方程的定义进行解题.
错解：∵一元二次方程$kx^{2}-6x+9=0$有实数根
∴$\Delta \geqslant 0$
∴$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$
解得$k\leqslant 1$.
正解：
易错防范：当一元二次方程的二次项系数含字母时，应结合一元二次方程的定义进行解题.
答案：
【解析】：本题可根据一元二次方程的定义和根的判别式来确定$k$的取值范围。
- **步骤一：根据一元二次方程的定义确定$k$的取值范围**
一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），在方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$中，二次项系数为$k$，所以$k\neq0$。
- **步骤二：根据根的判别式确定$k$的取值范围**
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\geqslant0$时，方程有实数根。
在方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$中，$a = k$，$b = -6$，$c = 9$，因为方程有实数根，所以$\Delta = (-6)^2 - 4k\times9\geqslant0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}(-6)^2 - 4k\times9&\geqslant0\\36 - 36k&\geqslant0\\-36k&\geqslant -36\\k&\leqslant1\end{aligned}$
- **步骤三：综合以上两个条件确定$k$的最终取值范围**
结合步骤一和步骤二，$k$需要同时满足$k\neq0$和$k\leqslant1$，所以$k$的取值范围是$k\leqslant1$且$k\neq0$。
【答案】：
∵一元二次方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$有实数根，
∴$\Delta \geqslant 0$且$k\neq0$，
即$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$且$k\neq0$，
由$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$得$36 - 36k\geqslant 0$，解得$k\leqslant 1$，
又$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k\leqslant 1$且$k\neq 0$。
- **步骤一：根据一元二次方程的定义确定$k$的取值范围**
一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），在方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$中，二次项系数为$k$，所以$k\neq0$。
- **步骤二：根据根的判别式确定$k$的取值范围**
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\geqslant0$时，方程有实数根。
在方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$中，$a = k$，$b = -6$，$c = 9$，因为方程有实数根，所以$\Delta = (-6)^2 - 4k\times9\geqslant0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}(-6)^2 - 4k\times9&\geqslant0\\36 - 36k&\geqslant0\\-36k&\geqslant -36\\k&\leqslant1\end{aligned}$
- **步骤三：综合以上两个条件确定$k$的最终取值范围**
结合步骤一和步骤二，$k$需要同时满足$k\neq0$和$k\leqslant1$，所以$k$的取值范围是$k\leqslant1$且$k\neq0$。
【答案】：
∵一元二次方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$有实数根，
∴$\Delta \geqslant 0$且$k\neq0$，
即$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$且$k\neq0$，
由$(-6)^{2}-4k×9\geqslant 0$得$36 - 36k\geqslant 0$，解得$k\leqslant 1$，
又$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k\leqslant 1$且$k\neq 0$。
例2. 用配方法解方程：$x^{2}+4x-7=0$.
错解：移项，得$x^{2}+4x=7$
配方，得$x^{2}+4x+4=7$即$(x+2)^{2}=7$
∴$x+2=\sqrt{7}$
∴$x=-2+\sqrt{7}$.
正解：
易错防范：①在配方时，方程左右两边应同时加上一次项系数一半的平方；②当被开方数是正数时，根据平方根的意义开平方，应该是正、负两种情况，不要漏掉其中一种情况.
错解：移项，得$x^{2}+4x=7$
配方，得$x^{2}+4x+4=7$即$(x+2)^{2}=7$
∴$x+2=\sqrt{7}$
∴$x=-2+\sqrt{7}$.
正解：
易错防范：①在配方时，方程左右两边应同时加上一次项系数一半的平方；②当被开方数是正数时，根据平方根的意义开平方，应该是正、负两种情况，不要漏掉其中一种情况.
答案：
【解析】：首先进行移项，将常数项移到等号右边，得到$x^{2}+4x = 7$。然后根据配方法的规则，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$4$，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，所以方程变为$x^{2}+4x + 4 = 7 + 4$，即$(x + 2)^{2}=11$。接着根据平方根的意义，当被开方数是正数时，开平方有正、负两种情况，所以$x + 2=\pm\sqrt{11}$，最后求解$x$，得到$x=-2\pm\sqrt{11}$。
【答案】：移项，得$x^{2}+4x = 7$。配方，得$x^{2}+4x + 4 = 7 + 4$，即$(x + 2)^{2}=11$。$\therefore x + 2=\pm\sqrt{11}$，$\therefore x=-2\pm\sqrt{11}$。
【答案】：移项，得$x^{2}+4x = 7$。配方，得$x^{2}+4x + 4 = 7 + 4$，即$(x + 2)^{2}=11$。$\therefore x + 2=\pm\sqrt{11}$，$\therefore x=-2\pm\sqrt{11}$。
例3. 解方程：$(x+3)^{2}=5(x+3)$.
错解：方程两边同除以$(x+3)$，得$x+3=5$
∴$x=2$.
正解：
易错防范：当等式两边有相同因式时，不能直接除掉，因为当这个因式为0时，不符合等式的性质，应当先进行移项，再利用因式分解求解.
错解：方程两边同除以$(x+3)$，得$x+3=5$
∴$x=2$.
正解：
易错防范：当等式两边有相同因式时，不能直接除掉，因为当这个因式为0时，不符合等式的性质，应当先进行移项，再利用因式分解求解.
答案：
【解析】：本题可先将方程进行移项，使等式右边为$0$，再提取公因式$(x + 3)$，将方程化为两个因式乘积为$0$的形式，最后根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”来求解方程。
【答案】：移项，得$(x + 3)^{2}-5(x + 3)=0$，提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)(x + 3 - 5)=0$，即$(x + 3)(x - 2)=0$，则$x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。
【答案】：移项，得$(x + 3)^{2}-5(x + 3)=0$，提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)(x + 3 - 5)=0$，即$(x + 3)(x - 2)=0$，则$x + 3 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。
例4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存，并增加盈利，商场决定采取适当降价措施. 经调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天多售出2件. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?
错解：设每件衬衫降价x元，根据题意，得
$(40-x)(20+2x)=1200$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=20$
∴每件衬衫应降价10元或20元.
正解：
易错防范：解决实际问题应认真审题，本题因忽略题干“尽快减少库存”而出错.
错解：设每件衬衫降价x元，根据题意，得
$(40-x)(20+2x)=1200$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=20$
∴每件衬衫应降价10元或20元.
正解：
易错防范：解决实际问题应认真审题，本题因忽略题干“尽快减少库存”而出错.
答案：
【解析】：设每件衬衫降价$x$元，根据“每件衬衫的盈利×每天销售的件数 = 每天的盈利”可列方程$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$，解得$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$。因为要尽快减少库存，而降价$20$元时比降价$10$元时每天多销售的衬衫数量更多，能更快地减少库存，所以应选择降价$20$元。
【答案】：设每件衬衫降价$x$元，根据题意，得$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$，解得$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$。因为要尽快减少库存，所以$x = 20$。
∴每件衬衫应降价$20$元。
【答案】：设每件衬衫降价$x$元，根据题意，得$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$，解得$x_{1} = 10$，$x_{2} = 20$。因为要尽快减少库存，所以$x = 20$。
∴每件衬衫应降价$20$元。
查看更多完整答案，请扫码查看
