《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1 如图，DE//BC，EF//CG，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，AE = 3.
（1）求EC的长；
（2）求证：AD·AG = AF·AB.
　　　　　　
解析：（1）根据已知，易求AC的长，则根据线段和差可得EC的长.（2）要证AD·AG = AF·AB，只要证$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$. 由DE//BC，EF//CG，易知$\frac{AD}{AB}$、$\frac{AF}{AG}$都等于$\frac{AE}{AC}$，于是可证得结论成立.
解：（1）∵DE//BC，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. ∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，AE = 3，∴$\frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$. ∴AC = 9. ∴EC = AC - AE = 9 - 3 = 6.
（2）∵DE//BC，EF//CG，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$. ∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$. ∴AD·AG = AF·AB.

答案：

典例2（2024·上海）如图①，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
（1）求证：$AD^{2}=DE·DC$；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EF = CF =$\frac{1}{2}BD$，求证：AD = CE.
　　　
解析：（1）要证$AD^{2}=DE·DC$，可证$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{DC}$. 由于找不到相关的相似三角形，故考虑运用矩形的性质，把DC转化成BA，即转化成$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{BA}$. 竖找：等式左边的线段DE、AD为△DEA的两边，等式右边的线段AD、BA为△ADB的两边. 横找：与竖找一样，可找到△DEA和△ADB，故可考虑证△DEA∽△ADB.（2）由于EF =$\frac{1}{2}BD$，故考虑连接AC，交BD于点O，易得OD = FE，再证明AD所在的△ODA与CE所在的△FEC全等，即可证得结论成立.
证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD = ∠ADE = 90°，BA = DC. ∴∠ABD + ∠ADB = 90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE + ∠ADB = 90°. ∴∠DAE = ∠ABD. ∵∠ADE = ∠BAD，∴△DEA∽△ADB. ∴$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{BA}$. ∴$AD^{2}=DE·BA$. ∵BA = DC，∴$AD^{2}=DE·DC$.
（2）如图②，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD为矩形，∴OA = OD =$\frac{1}{2}BD$，∠ADE = 90°. ∴∠DAE + ∠AED = 90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE + ∠ADB = 90°. ∴∠ADB = ∠AED = ∠FEC. ∵EF = CF =$\frac{1}{2}BD$，∴OA = OD = EF = CF. ∴∠ODA = ∠OAD，∠FEC = ∠FCE. 在△ODA和△FEC中，$\begin{cases}∠ODA = ∠FEC \\∠OAD = ∠FCE \\OD = FE\end{cases}$，∴△ODA≌△FEC. ∴AD = CE.

答案：