《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例6 （怀宁期末）在Rt△ABC中，∠C = 90°. 若sin A = 1/3，则cos B的值是________；若tan A = 2，则tan B的值是________.
解析：因为∠C = 90°，所以∠A + ∠B = 90°. 若sin A = 1/3，则cos B = sin A = 1/3；若tan A = 2，由tan A·tan B = 1，得tan B = 1/2.
答案：1/3；1/2.

答案：

题型一 求锐角的正弦值、余弦值
典例1（2024·启东二模）如图①，A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，C、F分别是直线x = -5和x轴上的动点，CF = 10，D是线段CF的中点，连接AD，交y轴于点E. 当△ABE的面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（ ）
A. $\frac{8}{17}$ B. $\frac{7}{17}$ C. $\frac{4\sqrt{2}}{13}$ D. $\frac{7\sqrt{2}}{26}$
　　　　　　　　　　　　
解析：如图②，过点E作EH⊥AB于点H. 由A(8,0)、B(0,8)，易得OA = OB = 8，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+8^{2}}$ = 8$\sqrt{2}$，所以S△ABE = $\frac{1}{2}$AB·EH = 4$\sqrt{2}$EH. 所以当EH的长取最小值时，△ABE的面积最小. 设直线x = -5交x轴于点G，连接GD，则OG = 5. 所以AG = 13. 因为D为Rt△CFG的斜边CF的中点，所以易得GD = $\frac{1}{2}$CF = 5. 所以点D在以点G为圆心、5为半径的圆上. 观察图②，可以发现当直线AD与⊙G上方相切于点D时，△ABE的面积最小，此时∠ADG = 90°，所以在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD = $\sqrt{AG^{2}-GD^{2}}$ = $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$ = 12. 所以tan∠EAO = $\frac{OE}{OA}$ = $\frac{DG}{AD}$，即$\frac{OE}{8}$ = $\frac{5}{12}$. 所以OE = $\frac{10}{3}$. 所以在Rt△AEO中，由勾股定理，得AE = $\sqrt{OA^{2}+OE^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}+(\frac{10}{3})^{2}}$ = $\frac{26}{3}$. 因为$\frac{1}{2}$AB·EH = $\frac{1}{2}$BE·AO，所以8$\sqrt{2}$×EH = (8 - $\frac{10}{3}$)×8. 所以EH = $\frac{7\sqrt{2}}{3}$. 因为∠EHA = 90°，所以sin∠BAD = $\frac{EH}{AE}$ = $\frac{\frac{7\sqrt{2}}{3}}{\frac{26}{3}}$ = $\frac{7\sqrt{2}}{26}$.
　　　　　　
答案：D.
非常点评
本题有一定的难度，解答本题有3个突破口：① 通过确定动点D的运动路径，找到△ABE面积最小时点D的位置. ② 分别在Rt△AEO、Rt△ADG中，根据tan∠EAO的值不变，求出OE的长. ③ 根据△ABE的面积的不同求法(即“等积法”)求出EH的长.

答案：