《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型3 解决与古代数学相关的问题
典例9（2024·连云港）古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”进行了相关研究. 数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图①，正八边形游乐城A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ km，南门O设立在边A₆A₇的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A₆A₇在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，点C处有一座雕塑. 在点A₁处测得雕塑在北偏东45°方向上，在点A₂处测得雕塑在北偏东59°方向上（结果精确到0.1 km，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，sin 76°≈0.97，tan 76°≈4.01，sin 59°≈0.86，tan 59°≈1.66）.
（1）∠CA₁A₂ = ______°，∠CA₂A₁ = ______°；
（2）求点A₁到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，则她离点B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？

解析：（1）因为∠CA₁A₂等于一个45°的角与正八边形的一个外角的和，所以∠CA₁A₂ = $\frac{360°}{8}+45° = 90°$. 延长A₃A₂，则可得∠CA₂A₁ = $\frac{360°}{8}+(90° - 59°)=45°+(90° - 59°)=76°$.（2）如图②，过点A₁作A₁D⊥BC于点D，则A₁D的长就是点A₁到道路BC的距离，故只需要解Rt△A₁CD即可，可先在Rt△A₁A₂C中求出A₁C的长.（3）如图②，连接CA₈并延长，交BM于点E，延长A₁A₈，交BE于点G，过点A₈作A₈F⊥BC于点F. 易证△CA₈F∽△CEB，进而可得EB的长.
解：（1）90；76.
（2）如图②，过点A₁作A₁D⊥BC于点D. 在Rt△A₁A₂C中，∵∠CA₁A₂ = 90°，A₁A₂ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ km，∠CA₂A₁ = 76°，∴A₁C = A₁A₂·tan 76°≈$\frac{1.41}{2}\times4.01\approx2.83$（km）. 在Rt△A₁CD中，∵∠CDA₁ = 90°，∠CA₁D = 90° - 45° = 45°，∴A₁D = A₁C·cos 45° = 2.83×$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx2.83×\frac{1.41}{2}\approx2.0$（km）. ∴点A₁到道路BC的距离约为2.0 km.
（3）如图②，连接CA₈并延长，交BM于点E，延长A₁A₈，交BE于点G，过点A₈作A₈F⊥BC于点F. ∵正八边形的外角均为45°，∴∠A₈A₇G = 45°. 在Rt△A₇A₈G中，∵∠A₇GA₈ = 90°，A₇A₈ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ km，∴A₈G = A₇A₈·sin 45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$（km）. 易知四边形A₈GBF为矩形，∴FB = A₈G = $\frac{1}{2}$ km. 在Rt△CDA₁中，∵∠A₁DC = 90°，∠CA₁D = 45°，A₁D = 2 km，∴CD = A₁D·tan 45° = 2 km. 易得A₈F = A₁D = 2 km，DF = A₁A₈ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ km，∴CB = CD + DF + FB = $\frac{5+\sqrt{2}}{2}$ km. ∵∠CFA₈ = ∠B，∠FCA₈ = ∠BCE，∴△CA₈F∽△CEB. ∴$\frac{CF}{CB}=\frac{A_{8}F}{EB}$，解得EB≈2.4 km. ∴小李离点B处不超过2.4 km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
非常点评
用一元一次方程解决与古代数学相关的问题，是中考中常见的题型，但是用锐角三角函数解决与古代数学相关的问题比较少见. 灵活运用正多边形的外角概念，是解第（1）（2）小题的关键. 判断出点E为离点B最远且能观察雕塑的位置，是解第（3）小题的关键.

答案：