《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例3 （2024·赣州期中）如图①，在△ABC中，∠B = 30°，∠BAC = 105°，$AC=\sqrt{2}$. 求AB的长.
　　　　
解析：如图②，因为∠BAC不是特殊角，所以过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ADC中求出AD的长，进而在Rt△ABD中求出AB的长。
解：如图②，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ADC中，∵∠ADC = 90°，∠C = 180° - 30° - 105° = 45°，∴$AD = AC\cdot\sin C=\sqrt{2}\times\sin 45° = 1$. 在Rt△ABD中，∵∠ADB = 90°，∠B = 30°，AD = 1，∴$AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{1}{\sin 30°}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$. ∴AB的长为2.
!提示 在添设辅助线时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高。
Q点拨 解这类含有特殊角的斜三角形时，一般过非特殊角（如本题的∠BAC）的顶点作高（如本题的AD），把问题转化到两个直角三角形中解决。

答案：

典例1（2024·梅县一模）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是边BC上的中线，∠C = 45°，sin B = $\frac{1}{3}$，AD = 1. 求：
（1）BC的长；
（2）tan∠DAE的值.

解析：（1）因为不能直接求BC的长，所以考虑根据BC = BD + CD，把求BC的长转化成求BD、CD的长.（2）在Rt△ADE中根据正切函数的定义，可知要求tan∠DAE的值只需求DE的长.
解：（1）∵ AD是边BC上的高，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. 在Rt△ADC中，∵ ∠C = 45°，∴ tan C = $\frac{AD}{CD}$ = 1. ∴ CD = AD = 1. 在Rt△ADB中，∵ ∠ADB = 90°，∴ sin B = $\frac{AD}{AB}$. ∴ AB = $\frac{AD}{sin B}$ = 3. ∴ 由勾股定理，得BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$. ∴ BC = BD + CD = 2$\sqrt{2}$ + 1.
（2）∵ AE是边BC上的中线，∴ CE = $\frac{1}{2}$BC = $\sqrt{2}$ + $\frac{1}{2}$. ∴ DE = CE - CD = $\sqrt{2}$ + $\frac{1}{2}$ - 1 = $\sqrt{2}$ - $\frac{1}{2}$. ∴ tan∠DAE = $\frac{DE}{AD}$ = $\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}}{1}$ = $\sqrt{2}$ - $\frac{1}{2}$.
非常点评
本题中有两个直角三角形：Rt△ADB、Rt△ADC，解这类题目时，一般以两个三角形的“公共边”或“公共角”作为解题的突破口，从其中一个可解的直角三角形中求出它们的“公共边”或“公共角”，并为解另一个直角三角形提供条件. 根据第（1）小题求出DE的长是解第（2）小题的关键.

答案：