《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型1 “A”字型
典例1（2023·南京）如图①，不等臂跷跷板AB的一端点A碰到地面l上的点A'处时，另一端点B在距离地面60 cm的点B'处；当AB的一端点B碰到地面时，另一端点A到地面的高度为90 cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（ ）


A. 36 cm
B. 40 cm
C. 42 cm
D. 45 cm

答案： 解析：如图②，过点A作AD⊥l于点D，过点B'作B'E⊥l于点E，则AD=90 cm，B'E=60 cm.因为A'、B'为跷跷板AB绕点O转动的过程中点A、B的对应点，所以设OA'=OA=a cm，OB'=OB=b cm，则AB=A'B'=(a+b)cm.因为OH⊥l，所以易得AD//B'E//OH.所以△OBH∽△ABD，△A'OH∽△A'B'E.所以$\frac{OH}{AD}$=$\frac{OB}{AB}$，$\frac{OH}{B'E}$=$\frac{A'O}{A'B'}$.设OH=x cm.所以$\frac{x}{90}$=$\frac{b}{a+b}$①，$\frac{x}{60}$=$\frac{a}{a+b}$②.
① + ②，得$\frac{x}{90}$ + $\frac{x}{60}$ = $\frac{b}{a+b}$ + $\frac{a}{a+b}$，所以$\frac{x}{90}$ + $\frac{x}{60}$ = 1，解得x = 36.所以跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36 cm.
答案：A.
非常点评
本题通过构造“A”字型相似三角形，运用相似三角形的性质，借助一条相等的边（或“公共边”），通过等式的性质得到答案.通过作垂线，构造平行线，从而得到“A”字型相似三角形，是一种较常见的添设辅助线的方法.

类型2 “X”字型
典例2（2024·淮安改编）如图①，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且∠BAD = 45°，∠CAD = 60°，求$\frac{BD}{BC}$的值.

解析：由于点D在BC上，故要求$\frac{BD}{BC}$的值，考虑分别过点B、C作直线AD的垂线，构造“X”字型相似三角形，转化成求$\frac{BD}{CD}$的值.
解：如图②，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则∠BED = ∠CFD = 90°.
∵∠BDE = ∠CDF，
∴△BDE∽△CDF.
∴$\frac{BD}{CD}$ = $\frac{BE}{CF}$.
设AB = AC = 2a.
∵∠BAD = 45°，∠BED = 90°，
∴∠ABE = 45° = ∠BAE.
∴BE = AE.
由勾股定理，得BE² + AE² = AB²，
∴2BE² = 4a².
∴BE = $\sqrt{2}$a.
∵∠CFD = 90°，∠CAD = 60°，
∴∠ACF = 30°.
∴易得AF = $\frac{1}{2}$AC = a.
∴CF = $\sqrt{AC² - AF²}$ = $\sqrt{(2a)² - a²}$ = $\sqrt{3}$a.
∴$\frac{BD}{CD}$ = $\frac{BE}{CF}$ = $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
设BD = $\sqrt{2}$k，则CD = $\sqrt{3}$k.
∴BC = BD + CD = ($\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$)k.
∴$\frac{BD}{BC}$ = $\frac{\sqrt{2}k}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})k}$ = $\frac{\sqrt{2}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$ = $\sqrt{6}$ - 2.

非常点评
在求两条线段的比值时，若这两条线段与某点把线段分成的那两条（或其中的）线段相关，通常考虑利用这一点构造（或寻找）“A”字型或“X”字型相似三角形来解答.在添设辅助线时，需结合已知条件，如本题就是利用∠BAD = 45°，∠CAD = 60°这个条件，分别过点B、C作直线AD的垂线，构造“X”字型相似三角形来解答的.

答案：