《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6（2024·达州改编）如图①，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，且AB = AC，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点F.
(1) 求证：∠DAF = ∠ACD；
(2) 过点A作AE⊥BD，交BD于点E，若CD = 3DE，求cos∠ABC的值.
　　　　　　
解析：(1) 如图②，连接OA，则可得∠DAF = ∠OAB = ∠OBA，故要证∠DAF = ∠ACD，只要证∠OBA = ∠ACD，根据圆周角定理可得答案. (2) 由于已知CD = 3DE，故设DE = a，则CD = 3a，考虑把∠ABC转化成∠ADE，只需要用含a的代数式表示AD的长即可，故延长CD，交AF于点H，延长AO，交BC于点G，连接OC. 如图②，把BE转化成CH，用含a的代数式表示BD的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理将AE的长用含a的代数式表示出来，进而用含a的代数式表示AD的长.
　　　　　　
解：(1) 如图②，连接OA. ∵ AF是⊙O的切线，∴ OA⊥AF. ∴ ∠OAF = 90°，即∠DAF + ∠OAD = 90°. ∵ BD是⊙O的直径，∴ ∠BAD = 90°，即∠OAB + ∠OAD = 90°. ∴ ∠DAF = ∠OAB. ∵ OA = OB，∴ ∠OBA = ∠OAB = ∠DAF. ∵ ∠OBA = ∠ACD，∴ ∠DAF = ∠ACD.
(2) 如图②，延长CD，交AF于点H，延长AO，交BC于点G，连接OC. ∵ BD是⊙O的直径，∴ ∠BCD = 90°. ∴ CH⊥BC. ∵ AB = AC，OB = OC，∴ OA垂直平分BC. ∴ AG⊥BC. ∴ AG//CH. 由(1)，得∠OAF = 90°. ∴ ∠AGC = ∠GAH = ∠GCH = 90°. ∴ 四边形AGCH为矩形. ∴ ∠AHC = 90°. ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEB = ∠AHC = 90°. 在△ABE和△ACH中，$\begin{cases} \angle AEB = \angle AHC, \\ \angle ABE = \angle ACH, \\ AB = AC, \end{cases}$ ∴ △ABE≌△ACH. ∴ AE = AH，BE = CH. ∵ AD = AD，∴ Rt△ADE≌Rt△ADH. ∴ DH = DE. 设DH = DE = a，则CD = 3a. ∴ BE = CH = DH + CD = 4a. ∴ BD = BE + DE = 5a. ∴ OA = OD = 2.5a. ∴ OE = OD - DE = 1.5a. ∵ ∠AEO = ∠AED = 90°，∴ 在Rt△AOE中，AE = $\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}$ = 2a，在Rt△ADE中，AD = $\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$ = $\sqrt{5}$a. ∴ cos∠ADE = $\frac{DE}{AD}$ = $\frac{a}{\sqrt{5}a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$. ∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠ADE. ∴ cos∠ABC = cos∠ADE = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
非常点评
在证明与圆有关的两个角相等时，我们通常运用圆的相关性质，把圆外的角(如本题的∠DAF)转化成圆内的角(如本题的∠OBA)来证明. 在求锐角三角函数值时，若该角虽然在直角三角形中，但是离已知线段比较远，这时我们一般把它转化成在已知线段的直角三角形中的锐角来求解.

答案：