《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例2 （2024·溧阳期末）根据下面的条件解直角三角形。
（1）如图①，在△ABC中，∠C = 90°，AB = 6，∠A = 45°；
（2）如图②，在△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$.
　　　　　　　　
解析：（1）由于本题属于已知一锐角和该角的邻边，故先用两锐角互余求∠B，再分别利用∠A的正弦、余弦求BC、AC的值。（2）由于本题属于已知两条直角边，故先利用勾股定理求得斜边c的长，再利用∠A的正弦求得∠A的度数，最后求得∠B的度数。
解：（1）在Rt△ABC中，∠B = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°. ∵$\sin A=\frac{BC}{AB}$，∴$BC = AB\cdot\sin A = 6\times\sin 45° = 6\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$. ∵$\cos A=\frac{AC}{AB}$，∴$AC = AB\cdot\cos A = 6\times\cos 45° = 6\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.
（2）在Rt△ABC中，∵∠C = 90°，∴由勾股定理，得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}} = 2\sqrt{2}$. ∵$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，∴∠A = 30°. ∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

答案：