《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例3（2024·昆山期末）如图，在$\triangle ABC$中，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E. 连接CD、AE，交于点F，且$AC = AE$.
（1）求证：$\triangle ABC\sim\triangle FCE$；
（2）若$BC = 6$，$DE = 2$，求$\triangle FCE$的面积.

解析：（1）易得$\triangle ABC$和$\triangle FCE$中的两组对应角相等，可证$\triangle ABC\sim\triangle FCE$.（2）由（1）知，要求$\triangle FCE$的面积，可求$\triangle ABC$的面积. 易求$\triangle ECD$的面积，故由（1）并结合已知可得$\triangle ABC$与$\triangle ECD$的面积关系，得$\triangle ABC$的面积.
解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，∴$BD = CD$. ∴$∠DBC = ∠DCB$. ∵$AE = AC$，∴$∠AEC = ∠ACB$. ∴$\triangle ABC\sim\triangle FCE$.
（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴$BE = CE=\frac{1}{2}BC$. ∵$\triangle ABC\sim\triangle FCE$，∴$\frac{AC}{FE}=\frac{BC}{CE}=2$. ∴$AC = 2FE$. ∵$AC = AE$，∴$AE = 2FE$. ∴$EF = AF$. ∴$S_{\triangle AFC}=S_{\triangle FCE}$，$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle EFD}$. ∴$S_{\triangle AFC}+S_{\triangle ADF}=S_{\triangle FCE}+S_{\triangle EFD}$，即$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ECD}$. ∵$BE = CE$，∴$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ECD}=S_{\triangle ACD}$. ∴$S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle ECD}=3\times\frac{1}{2}\times\frac{6}{2}\times2 = 9$. ∵$\triangle FCE\sim\triangle ABC$，∴$\frac{S_{\triangle FCE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{CE}{BC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$. ∴$S_{\triangle FCE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\times9=\frac{9}{4}$.

答案：

典例4 如图，弦AC与BD相交于⊙O内一点E，F是AB延长线上的一点，且满足$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle BEF}$. 求证：$\frac{BE^2}{CE^2}=\frac{AB}{BF}$.

解析：要证$\frac{BE^2}{CE^2}=\frac{AB}{BF}$，由于$\frac{AB}{BF}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEF}}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DCE}}$，所以只要证$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DCE}}=\frac{BE^2}{CE^2}$，可证$\triangle ABE\sim\triangle DCE$.
证明：∵$∠A = ∠D$，$∠ABE = ∠C$，∴$\triangle ABE\sim\triangle DCE$. ∴$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DCE}}=\frac{BE^2}{CE^2}$. ∵$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle BEF}$，∴$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEF}}=\frac{BE^2}{CE^2}$. ∵$\triangle ABE$与$\triangle BEF$有共同的高，∴$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEF}}=\frac{AB}{BF}$. ∴$\frac{BE^2}{CE^2}=\frac{AB}{BF}$.

答案：