《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型3 求锐角的余弦值
典例3（2023·淮安改编）如图①，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠地拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则cos∠ACB的值是______.

解析：如图②，补全最中间下面的正六边形BDEFGH，连接AF、HF，过点M作MN⊥AF于点N. 设正六边形的边长为2a. 因为易知∠AMF = ∠MFE = 120°，AM = MF，MN⊥AF，所以AF = 2AN，∠MAF = ∠MFA = $\frac{1}{2}\times(180° - 120°)=30°$. 所以∠AFE = 120° - 30° = 90°. 因为MN⊥AF，所以∠MNA = 90°. 所以AN = AM·cos∠MAN = 2a×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$. 所以AF = 2AN = 2$\sqrt{3}a$. 同理，可得∠EFH = ∠FHB = 90°，FH = 2$\sqrt{3}a$. 因为∠AFE + ∠EFH = 180°，所以A、F、H三点共线. 所以AH = AF + FH = 4$\sqrt{3}a$. 因为正六边形的外接圆的半径等于边长2a，BC为正六边形外接圆的直径，所以BC = 4a. 所以CH = CB + BH = 4a + 2a = 6a. 因为∠FHB = 90°，所以AC = $\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3}a)^{2}+(6a)^{2}} = 2\sqrt{21}a$. 所以cos∠ACH = $\frac{CH}{AC}=\frac{6a}{2\sqrt{21}a}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，即cos∠ACB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
答案：$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
非常点评
本题的解法不唯一，例如可以在图②中连接BP，交AC于点O，得∠OBC = 90°，同时得到“X”字型相似三角形（△APO∽△CBO），设BO = x，根据相似三角形的性质列方程求出x，进而求得cos∠ACB的值.

答案：