《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例5 已知二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$.
（1）用配方法将它变形为$y = a(x + h)^{2}+k$的形式；
（2）写出其图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）画出其图像；
（4）描述其图像与二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图像的关系.
解析：先通过配方法将二次函数的一般式变形为顶点式，为后面问题的解决提供方便，然后通过列表、描点、连线画出图像. 二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$与$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的共同点是二次项系数相同，说明它们图像的形状、大小相同，也就是说它们可以通过相互平移得到.
解：（1）$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10=-\frac{1}{2}(x^{2}-12x)-10=-\frac{1}{2}(x^{2}-12x + 36 - 36)-10=-\frac{1}{2}[(x - 6)^{2}-36]-10=-\frac{1}{2}(x - 6)^{2}+8$.
（2）$\because a = -\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$其图像的开口向下. $\because h = -6$，$k = 8$，$\therefore$其图像的对称轴为过点$(6,8)$且平行于$y$轴的直线，顶点坐标为$(6,8)$.
（3）列表如下（列表不唯一）：

描点、连线如图所示.
（4）把二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图像向右平移6个单位长度，向上平移8个单位长度，即可得到二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$的图像；反之，也可以说成把二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+6x - 10$的图像向左平移6个单位长度，向下平移8个单位长度，即可得到二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图像.

答案：