《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型1 求锐角的正切值
典例1（2023·苏州）如图①，AB是半圆O的直径，点C、D在半圆上，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，连接OC、CA、OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S₁，△OBE的面积为S₂．如果$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2}{3}$，那么tan∠ACO的值为（ ） 
A. $\sqrt{2}$ B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ C. $\frac{7}{5}$ D. $\frac{3}{2}$

解析：因为已知△OAC与△OBE的面积比，且这两个三角形有相等的底OA、OB，故想到过点C作CH⊥AO于点H，如图②. 因为EB⊥AB，$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{\frac{1}{2}OA\cdot CH}{\frac{1}{2}OB\cdot BE}=\frac{2}{3}$. 所以$\frac{CH}{BE}=\frac{2}{3}$. 因为OA=OC，所以∠CAO=∠ACO. 因为$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，所以∠COD=∠BOE. 所以∠COB=2∠BOE. 因为∠COB = 2∠CAO，所以∠BOE = ∠CAO，即∠CAH=∠EOB. 因为∠AHC=∠OBE=90°，所以△AHC∽△OBE. 所以$\frac{AH}{OB}=\frac{CH}{EB}=\frac{2}{3}$. 故可设AH = 2k，则OB = 3k. 所以OH = OA - AH = OB - AH = 3k - 2k = k，OC = 3k. 因为∠CHO = 90°，所以CH = $\sqrt{OC^{2}-OH^{2}}=\sqrt{9k^{2}-k^{2}} = 2\sqrt{2}k$. 因为∠AHC = 90°，所以tan∠CAO = $\frac{CH}{AH}=\frac{2\sqrt{2}k}{2k}=\sqrt{2}$. 因为∠CAO = ∠ACO，所以tan∠ACO=$\sqrt{2}$.
答案：A.
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在解题时，若遇到一个非“常规”的（或经过分析题目后用不到的）已知条件（如本题的$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2}{3}$）时，我们一般首先考虑如何使用这个条件，从而找到解题的突破口. 在使用这类条件时，一般首先寻找与其相关的知识点（如本题需要用到三角形的面积公式），然后结合其他条件（如本题中的OA = OB）的运用，需注意的是，有些题目在运用这些条件时还需要添设适当的辅助线（如本题中的过点C作CH⊥AO于点H）.

答案：

类型2 求锐角的正弦值
典例2（2024·扬州）如图①，已知两条平行线l₁、l₂，A是l₁上的定点，AB⊥l₂于点B，C、D分别是l₁、l₂上的动点，且满足AC = BD，连接CD，交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为______.

解析：如图②，连接AD、BC. 因为AC//BD，AC = BD，所以四边形ACBD为平行四边形. 所以AE = BE. 因为A为定点，AB⊥定直线l₂，所以线段AB为定线段. 所以线段AB的中点E为定点，线段BE也为定线段. 因为BH⊥CD，所以∠BHE = 90°. 所以动点H在以定线段BE为直径的⊙O上运动. 所以当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，如图②，连接OH. 设AB = 4a，则AE = BE = $\frac{1}{2}AB = 2a$. 所以OH = OE = $\frac{1}{2}BE = a$，则OA = AE + OE = 2a + a = 3a. 因为AH切⊙O于点H，所以∠OHA = 90°. 所以sin∠BAH = $\frac{OH}{OA}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，即当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为$\frac{1}{3}$.
答案：$\frac{1}{3}$.
非常点评
本题考查的知识点比较多，但是作为压轴题，难度不大. 解这种动点问题时，我们一般首先判断动点运动的路径，然后根据这个路径结合所学知识，找到取值时动点的位置进行解答. 判断出线段BE为定线段，并据此判断出点H在以BE为直径的圆上运动，是解本题的关键.

答案：