《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型5 与反比例函数的综合
典例12（2023·盐城）如图①，A、B是反比例函数y = $\frac{k}{x}$在第一象限内的图像上的两点，且AB = 2BC，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若S△BCE = 4.5，则k的值为________.

解析：由AB = 2BC，想到过点B作BH//AD，构造“A”字型相似三角形（△CHB∽△CDA），如图②，则$\frac{CH}{CD}$ = $\frac{BH}{AD}$ = $\frac{CB}{CA}$ = $\frac{CB}{CB + 2CB}$ = $\frac{1}{3}$.所以CD = 3CH，AD = 3BH.因为点B在反比例函数y = $\frac{k}{x}$在第一象限内的图像上，所以可设点B的坐标为(a，$\frac{k}{a}$)(a ＞ 0).因为AD⊥y轴，BH//AD，所以BH⊥y轴.所以BH = a，OH = $\frac{k}{a}$，AD = 3BH = 3a.因为点A在反比例函数y = $\frac{k}{x}$在第一象限内的图像上，所以点A的纵坐标为$\frac{k}{3a}$.所以OD = $\frac{k}{3a}$.所以DH = OH - OD = $\frac{k}{a}$ - $\frac{k}{3a}$ = $\frac{2k}{3a}$.因为BH⊥y轴，所以BH//x轴，即BH//OE.所以易得△BHD∽△EOD.所以$\frac{BH}{EO}$ = $\frac{DH}{DO}$ = $\frac{\frac{2k}{3a}}{\frac{k}{3a}}$ = 2.所以EO = $\frac{1}{2}$BH = $\frac{1}{2}$a.因为CD = 3CH，所以DH = CD - CH = 2CH.所以2CH = $\frac{2k}{3a}$，解得CH = $\frac{k}{3a}$.所以CD = $\frac{k}{a}$，OC = CH + OH = $\frac{k}{3a}$ + $\frac{k}{a}$ = $\frac{4k}{3a}$.因为S△BCE = 4.5，所以S△CDE + S△CDB = 4.5.所以$\frac{1}{2}$CD·EO + $\frac{1}{2}$CD·BH = 4.5，即$\frac{1}{2}$×$\frac{k}{a}$×$\frac{1}{2}a$ + $\frac{1}{2}$×$\frac{k}{a}$×a = 4.5，解得k = 6.
答案：6.
非常点评
过点B作BH//AD，构造“A”字型相似三角形（△CHB∽△CDA），同时也得到了“X”字型相似三角形（△BHD∽△EOD），是解本题的关键.若本题不用反比例函数图像上点的特征求解，而是由面积问题想到用反比例函数的系数“k”的几何意义求解，就进入了解题误区.实际上“k”的几何意义，也是通过用反比例函数图像上点的特征得到的，故凡是可以用“k”的几何意义求解的题目，都可以用反比例函数图像上点的特征求解，只是前者简单一些.

答案：