《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6（2024·泸州）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$经过点$A(3,0)$，与$y$轴交于点$B$，且关于直线$x = 1$对称.
（1）求该抛物线对应的函数表达式.
（2）当$-1\leqslant x\leqslant t$时，$y$的取值范围是$0\leqslant y\leqslant2t - 1$，求$t$的值.
（3）$C$是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点$C$作$x$轴的垂线交直线$AB$于点$D$，在$y$轴上是否存在点$E$，使得以$B$、$C$、$D$、$E$为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由.
　　
解析：（1）由抛物线的对称轴可用含$a$的代数式表示$b$，则函数表达式可用含$a$的代数式表示，由点$A$在抛物线上，用待定系数法可得函数表达式.（2）由$x = - 1$，可得$y = 0$，由此可判断出$t$的取值范围及$y$的最大值为$2t - 1$.分$\frac{1}{2}\lt t\lt1$和$1\leqslant t\leqslant3$讨论，可得关于$t$的方程，解之可得$t$的值.（3）分$BC$为菱形的边、对角线两种情况分别求菱形的边长，若据此求出符合题意的点$E$，则存在；反之，则不存在.
解：（1）$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore-\frac{b}{2a}=1$.$\therefore b=-2a$.$\therefore$该抛物线对应的函数表达式为$y = ax^{2}-2ax + 3$.$\because$点$A(3,0)$在抛物线上，$\therefore 0 = 9a - 6a + 3$，解得$a=-1$.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
（2）当$x = - 1$时，$y=-(-1)^{2}+2\times(-1)+3 = 0$.由题意，得$2t - 1\gt0$，解得$t\gt\frac{1}{2}$.$\because$当$-1\leqslant x\leqslant t$时，$0\leqslant y\leqslant2t - 1$，$\therefore$易得$\frac{1}{2}\lt t\leqslant3$.若$\frac{1}{2}\lt t\lt1$，则当$x = t$时，$y$取得最大值.$\therefore - t^{2}+2t + 3 = 2t - 1$，解得$t=\pm2$（不合题意，舍去）.若$1\leqslant t\leqslant3$，则当$x = 1$时，$y$取得最大值.$\therefore - 1^{2}+2\times1 + 3 = 2t - 1$，解得$t = 2.5$.$\therefore t = 2.5$.综上所述，$t$的值为$2.5$.
（3）存在.在$y=-x^{2}+2x + 3$中，令$x = 0$，则$y = 3$.$\therefore$点$B$的坐标为$(0,3)$.设直线$AB$对应的函数表达式为$y = kx + c$，则$\begin{cases}3k + c = 0,\\c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\c = 3.\end{cases}$$\therefore$直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x + 3$.设点$C$的坐标为$(m,-m^{2}+2m + 3)(0\lt m\lt3)$.$\because$点$D$在直线$y=-x + 3$上，$\therefore$点$D$的坐标为$(m,-m + 3)$.$\therefore CD=-m^{2}+2m + 3-(-m + 3)=-m^{2}+3m$.分两种情况：（i）当$BC$为边时，过点$B$作$BG\perp CD$于点$G$，如图②，则$CG=-m^{2}+2m + 3 - 3=-m^{2}+2m$.$\because \angle BGC = 90^{\circ}$，$\therefore BC^{2}=BG^{2}+CG^{2}=m^{2}+(-m^{2}+2m)^{2}$.$\because$四边形$BCDE$是菱形，$\therefore BC = CD$.$\therefore BC^{2}=CD^{2}$，即$m^{2}+(-m^{2}+2m)^{2}=(-m^{2}+3m)^{2}$.$\because m\neq0$，$\therefore m^{2}\neq0$.$\therefore 1+(-m + 2)^{2}=(-m + 3)^{2}$，解得$m = 2$.$\therefore CD=-2^{2}+3\times2 = 2$，即菱形的边长为$2$.（ii）当$BC$是对角线时，过点$C$作$CF\perp y$轴于点$F$，如图②.$\because OA = OB = 3$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OBA=\angle OAB = 45^{\circ}$.$\because$四边形$BDCE'$是菱形，$\therefore CE' = CD$，$CE'// BD$.$\therefore \angle CE'F=\angle OBA = 45^{\circ}$.$\because \angle CFE' = 90^{\circ}$，$\therefore \angle FCE' = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle CE'F$.$\therefore E'F = CF = m$.$\therefore CE'=\sqrt{m^{2}+m^{2}}=\sqrt{2}m$.$\therefore - m^{2}+3m=\sqrt{2}m$.$\because m\neq0$，$\therefore - m + 3=\sqrt{2}$，解得$m = 3-\sqrt{2}$.$\therefore CE'=\sqrt{2}m = 3\sqrt{2}-2$，即菱形的边长为$3\sqrt{2}-2$.综上所述，存在这样的点$E$，使得以$B$、$C$、$D$、$E$为顶点的四边形是菱形，该菱形的边长为$2$或$3\sqrt{2}-2$.
非常点评
在用待定系数法求二次函数的表达式时，还可以根据抛物线的对称轴、点的坐标特征列方程组求解.判断出$t$的取值范围，据此得出关于$t$的方程，是解第（2）小题的关键.解第（3）小题时，得到关于$m$的方程难度不大，解得到的关于$m$的高次方程，是本小题的难点.根据点$C$在第一象限，得到$m\neq0$，运用等式的基本性质，把关于$m$的高次方程转化成关于$m$的一元一次方程，是突破这个难点的关键.

答案：