《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

例2如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y₁ = x²(x≥0)与y₂ = x²/3(x≥0)的图像于B、C两点，过点C作y轴的平行线交函数y₁的图像于点D，过点D作DE//AC，交函数y₂的图像于点E，则DE/AB = ________.
解析：设点A的坐标为(0,k)(k ＞ 0).因为AB//x轴，所以点B、C的纵坐标为k.又因为点B在函数y₁ = x²(x≥0)的图像上，所以点B的坐标为(√k,k).所以AB = √k.因为点C在函数y₂ = x²/3(x≥0)的图像上，且AC//x轴，所以点C的坐标为(√3k,k).因为CD//y轴，所以点D的横坐标为√3k.又因为点D在函数y₁ = x²(x≥0)的图像上，所以点D的坐标为(√3k,3k).因为DE//AC//x轴，所以点E的纵坐标为3k.又因为点E在函数y₂ = x²/3(x≥0)的图像上，所以点E的坐标为(3√k,3k).所以DE = 3√k - √3k.所以DE/AB = (3√k - √3k)/√k = 3 - √3.

答案：3 - √3.

答案：

例3如图，抛物线y = 4/3x² + 16/3x与x轴交于点A、O，点B的坐标为(0,-3).若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，则是否存在这样的点D与点C，使以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：可设点C的纵坐标为m，分三种情况：① 四边形BADC是平行四边形；② 四边形BACD是平行四边形；③ 四边形BDAC是平行四边形.根据平行四边形的性质表示出点D的坐标，再代入抛物线对应的函数表达式求得m的值，进而求得点D的坐标.
解：存在.
令y = 0，则4/3x² + 16/3x = 0，解得x₁ = 0，x₂ = -4. ∴ 点A的坐标为(-4,0).
∵ 抛物线的对称轴为直线x = -16/3/(2×4/3) = -2，∴ 可设点C的坐标为(-2,m).
分三种情况：
① 若四边形BADC是平行四边形，BC交x轴于点G，则AD = BC，AD//BC.分别过点C、D作CE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，则CE//x轴.
∴ E(0,m)，∠DFA = ∠BEC = 90°，∠ECB = ∠CGA = ∠DAF.
∴ △DFA≌△BEC.
∴ DF = BE = OE + OB = m + 3，AF = CE.
∴ OF = AF + OA = CE + OA = 2 + 4 = 6.
∴ 点D的坐标为(-6,m + 3).
∵ 点D在抛物线上，
∴ m + 3 = 4/3×(-6)² + 16/3×(-6) = 16.
∴ 点D的坐标为(-6,16).
② 若四边形BACD是平行四边形，同理于①，可得点D的坐标为(2,m - 3)，
∴ m - 3 = 4/3×2² + 16/3×2 = 16.
∴ 点D的坐标为(2,16).
③ 若四边形BDAC是平行四边形，同理于①，可得点D的坐标为(-2,-m - 3)，
∴ -m - 3 = 4/3×(-2)² + 16/3×(-2) = -16/3.
∴ 点D的坐标为(-2,-16/3).
综上所述，点D的坐标为(-6,16)或(2,16)或(-2,-16/3).

非常点评
本题由于点C的纵坐标不确定，故在判断是否存在以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，需利用平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答.

答案：