《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例5 阅读材料：
（1）在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，称$\sin A=\frac{a}{c}$、$\sin B=\frac{b}{c}$是两个锐角∠A、∠B的“正弦”。特殊情况：直角的正弦值为1，即$\sin 90^{\circ}=1$，也就是$\sin C=\frac{c}{c}=1$。由$\sin A=\frac{a}{c}$，可得$c = \frac{a}{\sin A}$。由$\sin B=\frac{b}{c}$，可得$c=\frac{b}{\sin B}$，而$c=\frac{c}{1}=\frac{c}{\sin 90^{\circ}}=\frac{c}{\sin C}$，于是就有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
（2）其实，对于任意的锐角三角形ABC，上述结论都成立，即三角形各边与其对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形的面积公式证明其正确性。
证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{c}$，∴ $AD = c\cdot\sin B$。∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a\cdot AD=\frac{1}{2}ac\cdot\sin B$。在Rt△ACD中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，∴ $AD = b\cdot\sin C$。∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a\cdot AD=\frac{1}{2}ab\cdot\sin C$。同理，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot\sin A$。∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\cdot\sin B=\frac{1}{2}ab\cdot\sin C=\frac{1}{2}bc\cdot\sin A$。∴ $ac\cdot\sin B = ab\cdot\sin C = bc\cdot\sin A$。每项都除以abc，得$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}$，故$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
请你根据对材料的理解，解答下列问题(结果均保留根号)：
（1）如图②，在锐角三角形ABC中，∠B = 60°，∠C = 45°，c = 2，求b的值；
（2）求（1）中△ABC的面积；
（3）求$\sin 75^{\circ}$的值。

解析：（1）把∠B、∠C、c的值分别代入阅读材料中的$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，可得关于b的方程，解之可得b的值。（2）如图②，过点A作AD⊥BC于点D。先分别在Rt△ABD、Rt△ADC中求出BD、AD、CD的长，从而求出BC的长，再根据三角形的面积公式计算得到△ABC的面积。（3）在（1）中的△ABC中，易求∠BAC = 75°，再根据阅读材料，可知$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot\sin\angle BAC$，得到关于$\sin 75^{\circ}$的方程，解之可得答案。
解：（1）∵ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，且∠B = 60°，∠C = 45°，c = 2，∴ $\frac{b}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2}{\sin 45^{\circ}}$。
∴ $b=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$。
（2）如图②，过点A作AD⊥BC于点D。在Rt△ABD中，$\cos B=\cos 60^{\circ}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，AB = c = 2，∴ BD = 1。在Rt△ADC中，易得$AD = CD = AC\cdot\sin 45^{\circ}=\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$。∴ $BC = CD + BD=\sqrt{3}+1$。∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times(\sqrt{3}+1)=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
（3）在（1）的△ABC中，
∵ ∠B = 60°，∠C = 45°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 75°。
∵ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot\sin\angle BAC$，∴ $\frac{1}{2}\times\sqrt{6}\times2\times\sin 75^{\circ}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。∴ $\sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
非常点评
本题既考查了对三角函数概念的正确理解，也考查了运用新知识解决新问题及探求特殊角的三角函数值的能力。解答这类问题时，一定要正确理解问题背景中提供的阅读材料所渗透的新知识、新方法，并合理选用其中的新知识、新方法，运用所学的数学知识加以解答。

答案：