《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型2 求角的度数
典例7（2023·泰州）矩形ABCD是一张A4纸，其中AD = $\sqrt{2}$AB，小天用该A4纸玩折纸游戏.
游戏1：折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G.展开后得到如图①所示的图形，发现F恰为BC的中点.
游戏2：在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到如图②所示的图形，发现∠AGH是一个特定的角.
（1）请你证明游戏1中发现的结论；
（2）请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由.

解析：（1）设AB = k，则AD = $\sqrt{2}$k，可得BD = $\sqrt{3}$k.易发现△BGF∽△DGA，得$\frac{BF}{DA}$ = $\frac{BG}{DG}$，故要证F是BC的中点，只需证$\frac{BF}{DA}$ = $\frac{1}{2}$，可由△ABG∽△DBA，用含k的代数式表示BG的长，进而可以表示DG的长证得.（2）由于H为点B沿过点F的直线翻折到BP上的点，故考虑连接HF，得BF = HF.由于∠AGD = 90°，故要求∠AGH的度数，只需求∠DGH的度数.易证BD//HF，得∠GFH = 90°，∠DGH = ∠GHF.结合（1），可得GF = $\frac{1}{2}$GH，则易得∠GHF = 30° = ∠DGH，得∠AGH = 120°.
解：（1）设AB = k，则AD = $\sqrt{2}$k.∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，BC = AD = $\sqrt{2}$k，∠DAB = ∠ABC = 90°.∴BD = $\sqrt{AB² + AD²}$ = $\sqrt{3}$k.由题意，易知点B和点E关于AF对称，∴AF⊥BD.∴∠AGB = ∠AGD = ∠BGF = 90°.∴∠AGB = ∠DAB.∵∠ABG = ∠DBA，∴△ABG∽△DBA.∴$\frac{BG}{BA}$ = $\frac{AB}{DB}$.∴$\frac{BG}{k}$ = $\frac{k}{\sqrt{3}k}$，即BG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$k.∴DG = BD - BG = $\sqrt{3}$k - $\frac{\sqrt{3}}{3}$k = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$k.∵BF//AD，∴易得△BGF∽△DGA.∴$\frac{BF}{DA}$ = $\frac{BG}{DG}$.∴$\frac{BF}{DA}$ = $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}k}{\frac{2\sqrt{3}}{3}k}$ = $\frac{1}{2}$.∴BF = $\frac{1}{2}$DA = $\frac{1}{2}$BC.∴F恰为BC的中点.
（2）∠AGH = 120°.理由：如图③，连接HF.∵BP是折痕，∴∠GBH = ∠FBH.∵H为点B沿过点F的直线翻折到BP上的点，∴BF = HF.∴∠FBH = ∠FHB = ∠GBH.∴BD//HF.∴∠DGH = ∠GHF，∠GFH = ∠BGF = 90°.由（1），得BG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$k，HF = BF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$k，∴在Rt△BGF中，由勾股定理，得GF = $\sqrt{BF² - BG²}$ = $\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}k)² - (\frac{\sqrt{3}}{3}k)²}$ = $\frac{\sqrt{6}}{6}$k.∵∠GFH = 90°，∴在Rt△GFH中，由勾股定理，得GH = $\sqrt{HF² + GF²}$ = $\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}k)² + (\frac{\sqrt{6}}{6}k)²}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$k.∴GF = $\frac{1}{2}$GH.∵∠GFH = 90°，∴易得∠GHF = 30° = ∠DGH.∴∠AGH = ∠AGD + ∠DGH = 90° + 30° = 120°.

非常点评
第（1）小题是通过计算法来证明F恰为BC的中点的，这种方法不太常见，希望同学们引起注意.解第（2）小题有两个关键点：①连接HF，并证得BD//HF，把∠DGH转化成∠GHF；②用含k的代数式分别表示GF、GH的长，并由此得到GF = $\frac{1}{2}$GH.由于题图中没有画出展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处的折痕，故易忽视BF = HF这个条件.

答案：